Кривизной окружности радиуса называется число . Это число можно получить как отношение угла между касательными в концах какой-либо дуги окружности к длине этой дуги.
Последнее утверждение дает возможность определения кривизны для произвольной гладкой кривой.
Рассмотрим гладкую кривую . Угол называется углом смежности дуги . Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги (рис. 1.6).
Рис. 1.6
Кривизной кривой в ее точке называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности дуги кривой к ее длине , когда последняя стремится к нулю
. (1.18)
Таким образом . По определению, величина называется радиусом кривизны в точке .
Угол смежности дуги равен углу между векторами и . Из векторной алгебры известно, что
. (1.19)
Знаменатель в выражении (1.19) не равен нулю. Поэтому при знаменатель стремится к , а числитель стремится к нулю.
Будем теперь предполагать, что радиус−вектор кривой имеет вторую производную , и при этом условии докажем существование конечной кривизны в точке .
|
|
В силу (1.18), (1.19) кривизна в точке равна
, (1.20)
. (1.21)
Кручением кривой называется величина равная
. (1.22)