Частный случай кубической формы от двух переменных

Рассмотримчастный случай кубической формы от двух переменных. Пусть имеет следующий вид

= . (1)

Имеем

= 0, (2)

= 0. (3)

Из (2) находим выражение , подставляя которое в (3), получаем

- 2 + + 12 ( = 0,

откуда получаем 2 решения: 1) = , 2) = (4 - )(12 ( , (4 - )(12 ( . Итак, имеем две стационарные точки. Являются ли полученные стационарные точки экстремальными и максимумами или минимумами или не являются точками экстремума проверим в соответствии с п. 1.2 в зависимости от конкретных исходных данных. Матрица Гессе имеет следующий вид

.

1. Рассмотрим случай решения 1: = . В этом случае матрица Гессе имеет вид

.

Если и , то у будет минимум. Если

и , то у будет максимум. Во всех других случаях экстремума у не будет.

2. Рассмотрим случай решения 2: = (4 - )(12 ( , (4 - )(12 ( . В этом случае матрица Гессе имеет вид

= .

Если и , то у будет минимум. Если

и , то у будет максимум. Во всех других случаях экстремума у не будет.

Заметим, что определитель матрицы Гессе в рассматриваемых двух стационарных точках отличается только знаком.