Переменных

Рассмотрим следующий частный случай полинома произвольной степени от двух переменных

. (1)

1. Пусть . Приравнивая частные производные первого порядка от нулю, получаем следующую систему уравнений

= = 0, (2)

= = 0. (3)

Единственным решением системы уравнений (2-3) является .

Действительно, легко проверить, что является решением системы уравнений (2-3). Рассмотрим, есть ли другие решения. Если

при , то при этом условии (2) не равно нулю, т.е. это решение не проходит. Матрица Гессе имеет следующий вид

.

Её определитель в этом случае равен

= ()() –

( . (4)

Его главный минор порядка 1 равен ().

В точке = - , а его главный минор порядка 1 равен 0. Это противоречит п. 2.2. Следовательно, в этом случае решения оптимальной задачи нет.

2. Пусть . Система уравнений (2-3) остается справедливой и в этом случае с учетом приведенного условия. Тогда при и система (2-3) справедлива при произвольном . Определитель матрицы Гессе и его главный минор порядка 1 в этом случае равны 0. Это противоречит п. 2.2. Следовательно, и в этом случае решения оптимальной задачи нет.