Отображение, обратное к отображению Лапласа называется отображением Меллина
,
где интегрирование ведется по любой прямой Re p = S, S > S 0.
Непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно и обычно пользуются теоремами разложения, являющимися следствиями из нее.
Первая теорема разложения. Если функция F (p) аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд Лорана имеет вид
,
то оригиналом является функция
.
Вторая теорема разложения. Если F (p) имеет конечное число особых точек p 1, p 2,..., pn, то
.
Во многих случаях оригинал легко восстанавливается по таблице изображений и свойствам преобразования Лапласа.
Пример 1. Найти оригинал для функции .
Преобразуем функцию, выделив в знаменателе полный квадрат.
.
По таблице найдем оригинал
.
Пример 2. Найти оригинал для функции .
1 способ. Представим дробь в виде суммы простейших дробей
.
Вычислив неопределенные коэффициенты, получим
.
Для каждой дроби можно найти оригинал по таблице:
|
|
.
2 способ. Воспользуемся второй теоремой разложения.
Функция имеет три особые точки p 1 = 1, p 2 = i, p 3 = – i, являющиеся полюсами первого порядка. Найдем вычеты в этих точках для функции eptF (p):
Res(eptF (p), p 1) = ,
Res(eptF (p), p 2) = ,
Res(eptF (p), p 3) = .
Оригинал является суммой вычетов:
.
Пример 3. Найти оригинал для функции .
Воспользуемся первой теоремой разложения. Запишем ряд Лорана для функции F (p) в окрестности точки по известному разложению для экспоненты:
.
Оригинал:
.