. (7)
Уравнение (7) определяет распределение температур в любой точке тела, через которое теплота передается теплопроводностью, и называется дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде, или уравнением Фурье.
Коэффициент пропорциональности в уравнении (7) называется коэффициентом температуропроводности. Он характеризует теплоинерционные свойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагреется или охладится то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности, и, следовательно, характеризует скорость изменения температуры в нестандартных тепловых процессах.
Коэффициент температуропроводности имеет следующую единицу измерения:
В случае установившегося процесса передачи теплоты теплопроводностью , т. е. температура не изменяется со временем. Тогда уравнение (7) примет вид
(8)
Однако величина а не может быть равна нулю и, следовательно,
или (9)
Уравнение (9) является дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.
|
|
Уравнения (7) и (9) описывают распределение температур в случае передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде и не учитывают, в частности, геометрические формы тела, через которое проводится теплота. При решении конкретных задач дифференциальные уравнения дополняются краевыми условиями, характеризующими каждую конкретную задачу.
Теплопроводность через плоскую стенку. Рассмотрим наиболее распространенный случай – теплопроводность через плоскую однослойную стенку, длина и ширина которой бесконечно велики по сравнению с ее толщиной δ (рис. 2).
Стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину, температуры поверхностей t и t поддерживаются постоянными, т. е. являются изометрическими, причем t > t . При установившемся процессе количества теплоты, подведенного к стенке и отведенного от нее, равны между собой и не изменяются во времени.
Температура меняется только в направлении, перпендикулярном к плоскости стенки, которое принимаем за ось x. В такой постановке температурное поле одномерное ( t ∕ y = 0, t ∕ z = 0).
Коэффициент λ постоянен для всей стенки. При установившемся (стационарном) тепловом режиме температура в любой точке тела неизменна и не зависит от времени.
При принятых условиях в уравнении (9) первые и вторые производные от t по y и z равны нулю:
; ,
поэтому уравнение теплопроводности можно записать в виде
. (10)
Интегрирование уравнения (10) приводит к функции
, (11)
где C 1 и C 2 – константы интегрирования.
При постоянном коэффициенте теплопроводности λ это уравнение прямой линии. Таким образом, закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным.
|
|
Константы интегрирования определяют исходя из следующих граничных условий:
при x = 0 величина t = t и из уравнения (11)
,
при x = δ величина t = t и уравнение (11) принимает вид
,
или
,
откуда
.
Подставив значения констант C и C в уравнение (11), находим
.
Тогда
.
Подставив полученное выражение температурного градиента в уравнение теплопроводности (5), определим количество переданной теплоты:
или , (12)
где λ – коэффициент теплопроводности материала стенки, Вт∕(м×К); δ – толщина стенки, м; (t – t ) – разность температур поверхностей стенки, К; F – площадь поверхности стенки, м ; – время, с.
Уравнение (12) является уравнением теплопроводности плоской стенки при установившемся тепловом режиме.