14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
Пусть непрерывна в замкнутой области .
Определение: Конечный предел интегральной суммы функции в области при условии, что и называется двойным интегралом от этой функции по области , где - диаметр частичной области.
Т.о. .
Основные свойства двойного интеграла:
1) , где - ;
2) ;
3) ;
4) Если всюду в области , то ;
5) Если всюду в области , то ;
6) Если - наименьшее, - наибольшее значения функции и области , то , где - площадь области ;
7) ;
8) Теорема о среднем:
Если функция - непрерывна в замкнутой области , то , где - площадь области и - некоторая внутренняя точка области .
Двойной интеграл от неотрицательной функции определяет объем соответствующего цилиндрического тела.
14.2. Вычисление двойного интеграла:
1.
Правило вычисления двойного интеграла по :
- строим область интегрирования и проверяем, является ли она правильной и стандартной по ;
- разрешаем уравнение границ области относительно ;
- переходим от двойного интеграла к повторному;
|
|
- берем внутренний интеграл по при произвольном постоянном ;
- вычисляем внешний интеграл.
2. .
14.3. Применения двойного интеграла:
· или - вычисление площади фигур;
· - вычисление объема;
· - масса плоской неоднородной пластины плотности (механический смысл двойного интеграла);
· 4) ; - статические моменты относительно осей
· ; - координаты центра масс пластины;
· - моменты инерции пластины.
14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
Пусть функция непрерывна в замкнутой облости .
Определение: Конечный предел интегральной суммы функции в области при условии, что и называется тройным интегралом от этой функции по области , где - диаметр частичной области.
Т.о. .
Вычисление тройных интегралов:
1.В декартовой системе координат:
2. В цилиндрической системе координат (ц.с.к.):
В ц.с.к.
,
.
;
Полезно использовать, что .
Тройной интеграл целесообразно вычислять в ц.с.к., если:
- область интегрирования ограничена хотя бы одной из поверхностей (прямой круговой цилиндр), (параболоид вращения), (прямой круговой конус) с ;
- область проецируется на плоскость в круг или любую его часть.
3. В сферической системе координат (с.с.к.):
;
;
.
Тройной целесообразно вычислять в с.с.к., если - шар или его часть.
Полезно использовать, что .
14.5. Применения тройного интеграла:
· - в декартовой системе координат;
· - в цилиндрической системе координат;
· - в сферической системе координат;
· - масса неоднородного тела с плотностью ;
· ;
;
- статические моменты относительно координатных плоскостей.
· ; ; - координаты центра масс;
|
|
· ;
; - моменты инерции тела относительно коорд. осей
;
· ;
; - моменты инерции тела относительно коорд. плоскостей
- момент инерции относительно .