1.1. Основные понятия:
Определение:
Уравнение, содержащее неизвестные функции, их аргументы и производные (дифференциалы) различных порядков от этих функции по своим аргументам называется дифференциальным.
Определение:
Порядком д.у. называется порядок старшей производной или старшего дифференциала функции, входящих в уравнение.
Определение:
Решением д.у. называется всякая функция, обращающая это уравнение в тождество.
1.2. Типы дифференциальных уравнений первого порядка:
1) С разделяющимися переменными:
- разрешенное относительно производной
Алгоритм решения:
- заменяем на ;
- разделяем переменные: слева с , справа с ;
- интегрируем уравнение с разделенными переменными;
- записываем общее решение или общий интеграл.
Частный случай : ; .
- в дифференциальной форме.
Метод решения тотже.
2) Однородные дифференциальные уравнения:
, где - разрешенное относительно производной.
Ход решения:
- вводим новую функцию или ;
- сводим к уравнению с разделяющимися переменными, интегрируем.
( - однородные функции одного измерения) – дифференциальная форма.
3) Линейные дифференциальные уравнения:
Общая форма: , где - непрерывные функции, в частности постоянные.
Признак: входят только в первой положительной степени и нет их произведения , - в любой форме.
Ход решения:
- подставляем в данное уравнение ;
- решаем последовательно два д.у. с разделяющимися переменными: одно д.у. относительно , другое относительно ;
- записываем общее решение (общий интеграл).
Еще одна форма линейного дифференциального уравнения: .
Решаются введением
4) Уравнения Бернулли:
Общий вид - , где - любой действительное число , - непрерывные функции, в частности постоянные.
Эти уравнения сводят к линейным, поэтому решение его вида .
5) Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах:
, где .
Решение ищем в виде , где и - из области непрерывности .
1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков:
1) Дифференциальные уравнения вида , где
Для нахождения решения последовательно интегрируем заданное д.у. по столько раз, каков порядок уравнения.
2) Дифференциальные уравнения вида .
Для нахождения решения вводим новую функцию , тогда .
Замечание:
- д.у. вида , где решаем с помощью подставки .
3) Дифференциальные уравнения вида .
Для нахождения решения вводим новую функцию , тогда .
4) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)
Общий вид: .
Ход решения:
- составляем характеристическое уравнение вида ;
- решаем характеристическое равнение, используя дискриминант;
- записываем общее решение, учитывая:
ЛОДУ высших порядков решаются аналогично.
5) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)
Общий вид , где - непрерывная функция при всех рассматриваемых .
- ЛНДУ второго порядка с первой специальной правой частью ( - любое действительное число, включая ноль, - многочлен -ой степени с действительными коэффициентами)
Его решение имеет вид: , где
- - общее решение соответствующего ЛОДУ ,
- , где - кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения, - из условия, - многочлен - ой степени, взятый с буквенными коэффициентами.
- ЛНДУ второго порядка со второй специальной правой частью ( - любое действительное число, включая ноль, - многочлен -ой и - ой степени с действительными коэффициентами)
Его решение имеет вид: , где
- - общее решение соответствующего ЛОДУ ,
- , где - кратность, с которой пара чисел входит в число корней характеристического уравнения, - из условия, - разные многочлены одной степени с буквенными коэффициентами ().
ЛНДУ высших порядков решают аналогично.
Теорема:
Если - частное решение д.у. , - частное решение д.у. , то их сумма - частное решение д.у. .
6) Метод Лагранжа (для интегрирования ЛНДУ второго и высших порядков)
Этот метод целесообразно применять при интегрировании ЛНДУ с постоянными коэффициентами, но без специальной правой части и уравнений с переменными коэффициетами.
Пусть имеем - ЛНДУ второго порядка. Найдем его решение в виде методом вариации.
- - решение соответствующего ЛОДУ;
- ;
- составляем СЛАУ относительно :
- находим по формулам Крамера решение системы: ;
- итнегрируем последнее равенство и полагаем постоянные интегрирования равными нулю, тем самым находим ;
- записываем решение в виде .
1.4.Системы диффереренциальных уравнений.
Определение:
Система диффереренциальных уравнений вида
где - неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , то система дифференциальных уравнений называется линейной.
1) Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению - го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного.
В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения, что позволяет найти решение системы.
2) Пусть дана система 3 линейных дифференциальных уравнений с 3 неизвестными функциями, коэффициенты которых постоянные:
Общее решение имеет вид: .
Здесь - нетривиальные частные решения системы, причем такие, что каждая тройка функций образуют ФСР .
Ищем такие частные решения системы в виде , здесь - некоторые константы. Подставив значения в систему дифференциальных уравнений , получим систему линейный алгебраических уравнений относительно :
Составляем характеристическое уравнение: .
Оно имеет три корня: действительных или комплексно-сопряженных.
- Если корни дейстительные и различные , то для каждого корня находим из системы одно из ее решений вида:
Линейная комбинация полученных частных решений определит общее решение заданной системы.
- Если среди корней есть пара комплексно-сопряженных чисел, т.е. - действительное, , то аналогичным способом с помощью корня находим первое частное решение системы в действительной форме. С помощью корня или получаем новое частное решение в комплексной форме. Выделив в новом решении действительные и мнимые части, составляем из них соответственно частные решения в действительной форме.