Теорема Пуассона

В теореме Бернулли устанавливается связь между относительной частотой появления события и его вероятностью p при условии, что последняя от опыта к опыту не изменяется. Теорема Пуассона[7] устанавливает связь между относительной частотой появления события и некоторой постоянной величиной при переменных условиях опыта.

Теорема Пуассона. Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в i- м опыте равна p_i, то при увеличении n относительная частота появления события сходится по вероятности к среднему арифметическому значению вероятностей p_i, т. е.

= 1, (4.3.1)

где ε – сколь угодно малое положительное число.

Для конечного числа испытаний n будем иметь:

(4.3.2)

Каким бы ни было ε, при n → ∞ величина дроби , а вероятность

Пример 4.3.1. Одинаковые партии изделий размещены в 11 ящиках, причем доли первосортных изделий в них составляют 0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0.8; 0,9; 1,0. Из каждого ящика наудачу извлечено по одному изделию. Определить вероятность того, что доля первосортных изделий в выборке будет отличаться от средней арифметической доли менее чем на 0,2.

Решение. По условию задачи:

n = 11; ε = 0,2;

p ₁ = 0,0 (q ₁ = 1,0); p ₂ = 0,1 (q ₂ = 0,9); p ₃ = 0,2 (q ₃ = 0,8);

p ₄ = 0,3 (q ₄ = 0,7); p ₅ = 0,4 (q ₅ = 0,6); р ₆ = 0,5 (q ₆ = 0,5);

p ₇ = 0,6 (q ₇ = 0,4); p ₈ = 0,7 (q ₈ =0,3); p ₉ = 0,8 (q ₉ = 0,2);

p ₁₀ = 0,9 (q ₁₀ = 0,1); p ₁₁ = 1,0 (q ₁₁ = 0,0).

Применяя формулу (4.3.2), получим

=

= 1 – =

= 1 – = 0,64.

Ответ: ≥ 0,64.