10. Аффинные системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.
В предыдущем параграфе рассматривалось пространство геометрических векторов, представляющих собой семейства эквивалентных друг другу направленных отрезков. При этом в пространстве вводился базис, состоящий из трех некомпланарных векторов.
В этом параграфе в пространстве наряду с векторами будем рассматривать точки, и вместо базиса вводятся так называемые системы координат.
Пусть на прямой (на плоскости или в пространстве) заданы точка О и базис
Определение 1. Афиновой (декартовой) системой координат называется совокупность точки (начала координат) и базисных векторов, заданных в определенном порядке. Совокупность точки и базисных векторов иногда называют репером.
Декартова система координат, базис которой ортонормированный, называется декартовой прямоугольной системой координат.
Базисные вектора определяют координаты оси, проходящей через точку О и эти базисные вектора являются единичными (масштабными) векторами этих осей.
Замечание. а) Начало координат т. О делит ось координат на 2 полуоси: отрицательную и положительную.
б) Ось координат делит плоскость на координатные полуплоскости, а пара осей - на координатные квадранты (четверти).
в) Плоскости, проходящие через пары осей называются координатными плоскостями.
г) Координатная плоскость делит пространство на 2 координатные полупространства, а тройка координатных плоскостей делит пространство на 8 координатных октант.
Если вести в рассмотрение точку M, то можно определить вектор , причем
(1)
Определение 2. Числа из формулы (1) называются аффинными координатами т. М в рассматриваемой системе координат.
Если рассматриваются две точки и , то координаты вектора находятся по следующему правилу:
Таким образом, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.
Теперь рассмотрим, как преобразуются координаты точек при переходе от одной системы координат к другой. Пусть вначале центр системы координат переносится в точку , а базис не меняется. Если - радиус-вектор т. М в первоначальной системе координат, а - радиус-вектор преобразованной, то . Если , то из последней формулы имеем
Если теперь начало координат останется на месте, а базисные вектора преобразуются с помощью суммы, то координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами:
.
Объединяя оба преобразования получаем:
- формула преобразования координат точки при переходе от одного репера к другому.
20. Задача деления отрезка в данном отношении.
Пусть в трехмерном пространстве с заданным репером рассмариваются две точки , .
Определение 3. Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если .
Видно, что , если и , если ; .
Пусть точка M задана своими координатами, т.е. Þ , Þ
Þ (3)
Частный случай: деление отрезка пополам. Тогда l=1 и координаты точки (середина отрезка) равны полусумме координат его концов.
Если и - радиус-вектора точек и , то формулы (3) могут быть переписаны в векторном виде: .
30. Другие системы координат.
а) Полярная система координат.
Полярная система координат вводится на плоскости и задается точкой , которая называется полюсом, и координатной осью, проходящей через точку , которая называется полярной осью.
|
Положение произвольной точки М на плоскости в полярной системе координат определяется расстоянием от т. до т. М и углом , на который надо повернуть полярную ось против часовой стрелки до совмещения с осью ОМ.
Пара называется полярными координатами т. М, - полярный радиус, - полярный угол, .
С полярной системой координат естественным образом связывается прямоугольная декартова система координат: ось совпадает с полярной осью, ось проходит через полюс перпендикулярно (при повороте оси против часовой стрелки на угол ). Тогда полярная и декартова координаты т. М связаны формулами:
.
б) Цилиндрические координаты в пространстве.
Выберем в пространстве плоскость и введем на этой плоскости полярную систему координат. Через полюс О проведем ось перпендикулярно . Наряду с этим введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат, соответствующую полярной.
Вместе с осью она будет образовывать декартову систему координат в пространстве.
Выберем произвольную точку М и рассмотрим проекции и точки М на ось и на плоскость .
Тогда точка имеет координату , а точка - полярные координаты .
Числа называются цилиндрическими координатами т. М в пространстве.
Таким образом, для того, чтобы ввести в пространстве цилиндрическую систему координат необходимо на некоторой фиксированной плоскости задать полярную систему координат и ось, перпендикулярную этой плоскости.
Если с циклической системой координат естественным образом связана декартова система координат, то координаты т. М в полярной системе координат и декартовой системе координат связаны формулами:
в) Сферическая система координат в пространстве.
Рассмотрим в пространстве декартову систему координат и соответствующую ей полярную систему координат в плоскости .
Пусть т. М – произвольная точка пространства, - проекция M на , имеющая полярные координаты и пусть - угол между и , - длина вектора . Тогда тройка определяет сферические координаты точки в пространстве. При этом используется следующая терминология: - радиус, - долгота, - широта. При этом
Если - координаты т. М в декартовой системе координат, то они связаны со сферическими координатами формулами:
Замечание. Иногда угол вводится как угол между и . Тогда формулы связи сферической с декартовой системой координат изменяются и выглядят следующим образом: