Аффинная система координат в пространстве

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Учебно-методическое пособие

Для студентов дневного и заочного отделений

Физико-математического факультета

Воронеж 2011

УДК 513 (075.8)

Составитель:

Кандидат физико-математических наук, доцент Н.А. Заварзина

Учебно-методическое пособие для студентов дневного и заочного отделений физико-математического факультета /сост.: Заварзина Н.А.−

Воронежский госпедуниверситет, 2011− 55с.

Учебно-методическое пособие представляет собой курс лекций и практических занятий по теме «Метод координат в пространстве».

Пособие состоит из трёх частей. Первая часть содержит общие сведения о преобразованиях плоскости. Во второй части подробно излагается теоретический материал о движениях плоскости и основные свойства частных видов движений. Третья часть пособия содержит практический материал, в котором содержатся задания для определения степени усвоения теоретического материала, решение конкретных задач на доказательство с применением основных свойств движений плоскости и задачи для самостоятельного решения.

Предназначается для студентов дневного и заочного отделений физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.

© Заварзина Н.А., составление, 2011

Содержание

§1.Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве……. 4

1Аффинная система координат в пространстве.……...………………….. 4

2 Координаты точки в пространстве…………....………………………. 6

3 Вычисление координат вектора по координатам точек начала и конца..8

1.4 Группа преобразований………………………………………………... 9

§2. Движение плоскости…………………………………………………. 10

2.1 Определение движения плоскости……………………………………. 10

2.2 Теорема о существовании движения плоскости……………………… 10

2.3 Два вида движений. Аналитическое задание движения…………….... 11

2.4 Частные виды движения плоскости………………………………….. 12

§3. Классификация движений…………………………………………… 22

3.1 Теоремы о неподвижных точках и неподвижных прямых

при движении……………………………………………………………. 22

3.2 Классификация движений первого рода………………………………..24

3.3 Классификация движений второго рода………………………………. 25

§4. Группа движений плоскости и её подгруппы………………………….27

§5. Система заданий, контролирующих усвоение теоретического

материала……………………………………………………………….. 29

5.1Задания для определения вида преобразования плоскости по его

свойствам…………………………………………………………………29

5.2Задачи на выделение элементов, определяющих движение

плоскости…………………………………………………………………32

§6.Применение преобразований плоскости к решению задач на

доказательство…………………………………………………………….44

Литература………………………………………………………………………58

Метод координат в пространстве

Лекция №1

Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве.

Аффинная система координат в пространстве.

Определение. Аффинным репером в пространстве называют упорядоченную четвёрку точек О, А ₁, А ₂, А ₃ пространства, не лежащих в одной плоскости, и никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Если в пространстве задан аффинный репер R={ О, А ₁, А ₂, А ₃},то говорят что в пространстве задана аффинная система координат.

Рис. 1.

Точка О называется началом системы координат. Векторы , образующие некомпланарную систему векторов являются базисом пространства V₃ и называются базисными векторами данной системы координат или базисом данного репера R={ О, А ₁, А ₂, А ₃}. Таким образом, репер R={ О, А ₁, А ₂, А ₃}, можно задавать точкой О и базисными векторами . В этом случае аффинная система координат в пространстве обозначается R=(О ). Векторы называют координатными или базисными векторами аффинной системы координат ( -первый координатный вектор, - второй, - третий). Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, на которых положительные направления определяются этими векторами, называются координатными осями. Оси, параллельные векторам , называются соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат и обозначаются так: . Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Ох и Оz, Oy и Oz называют координатными плоскостями и обозначают соответственно через Оху или xOy, Охz или xOz, и Оуz или yOz. Иногда систему координат О обозначают через Охуz. На каждой из координатных плоскостей задан аффинный репер: (xOy) → R=(О ); (xOz) → R=(О ); (yOz) → R=(О ).

Если ; ; и │ │=│ │=│ │= 1, то репер называют прямоугольным, а систему координат называют прямоугольной или декартовой системой координат и обозначают R = (O,i,j,k), где │ i │=│ j│ =│ k │=1.