Построение линейных оптимизационных моделей

ЭКОНОМИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Методические указания к практическим работам

Составитель

Т.К. СНЕГИРЕВА

Владимир 2007

УДК 330.105

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Владимирского государственного университета

Экономико -математические методы и модели (в туризме и гостиничном хозяйстве): Метод. указания к практич. работам / Владим. гос. ун – т; Сост.: Т.К. Снегирева,. Владимир, 2007. 35с.

Приведены задачи по основным разделам прикладного математического анализа экономических ситуаций в турфирмах. Основные разделы содержат положения о научно-теоретической постановке и модельной проработке практических задач сферы туризма и гостиничного хозяйства.

Рекомендуется студентам специальности 080502 (0608.17) – экономика и управление туризмом и гостиничным хозяйством.

Табл. 12. Библиогр.: 8 назв.

УДК 330.105

Использование математических методов и средств вычислительной техники является важным элементом при решении экономических задач. Студентам необходимо, с одной стороны, понимание экономических проблем отраслевых преобразований, с другой, – знание возможностей применения математических методов и персональных компьютеров в практике принятия управленческих решений.

В данных методических указаниях изложен материал, позволяющий получить довольно полное представление о возможностях практического использования математического программирования при решении конкретных экономических задач.

Большинство задач носит условный характер, а числовые примеры подобраны так, чтобы можно было выполнить наиболее простые вычисления.

Практическая работа № 1

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: развить навыки теоретического построения линейных оптимизационных моделей в задачах планирования деятельности туристской фирмы.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. В общем виде экономико-математические модели представляют собой функциональные зависимости между количественными переменными.

В линейных оптимизационных моделях все функции, составляющие экономико-математическую модель, линейны. Другими словами, для всех переменных величин х ₁, х ₂, …х _n, входящих в модель, допускаются лишь простейшие действия: сложение, вычитание и умножение на число. Более сложные действия над переменными (их перемножение, возведение в степень, извлечение корня и так далее) в линейных уравнениях не допускаются.

В общем виде такая­ модель записывается так:

z 0 = p 1 x 1 + p 2 x 2 +…+ pn xn → max; zr = ar 1 x 1 + ar 2 x 2 +…+ arn xn ≤ ar, r = 1, k; zl = al 1 x 1 + al 2 x 2 +…+ aln xn ≥ al, l = k+ 1, m; x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0,…, xn ≥ 0.

или

z 0 → max; zr ≤ ar, r = 1, k; zl ≥ al, l = k + 1, m; xj ≥ 0, j = 1, n.

(1)

В этой модели x ₁, x ₂, …, x_n – управляющие переменные, то есть независимые, а z ₀, z_r, z_l – управляемые переменные, то есть зависимые (от x_n).

В наиболее общем виде все переменные и коэффициенты модели (1) имеют следующий экономический смысл:

x_j – объем j -го вида услуг, j = 1, n;

z ₀ – суммарная прибыль;

p_j – прибыль с единицы j -го вида услуг, j = 1, n;

z_r – суммарный расход r -го ресурса, r = 1, k;

a_rj – норматив расхода r -го ресурса на единицу j -й услуги, r = 1, k, j = 1, n;

a_r – контрольный уровень фондов r -го ресурса, наличие ресурса ;

z_l – суммарный результат по l -му экономическому показателю, l = k + 1, m;

a_lj – нормативный результат по l -му экономическому показателю с единицы j -й услуги, l = k + 1, m, j = 1, n;

a_l – контрольный уровень результата по l -му экономическому показателю, l = k + 1, m.

Для последующего экономического анализа модель (1) необходимо упростить так, чтобы ограничения на все переменные, входящие в модель, были одинаковые и простые. Другими словами, все переменные, за исключением z ₀, должны быть 0.

Для этого вычтем из обеих частей каждого r -го неравенства переменную a_r, а из обеих частей каждого l -го - a_r.

zr – ar ≤ ar, r = 1, k; zl – al ≥ al – al, l = k + 1, m.

или

ar –zr ≥ 0, r = 1, k; zl – al ≥ 0, l = k + 1, m.

(2)

Введем для этих величин специальные обозначения:

yr = ar – zr, r = 1, k и yl = zl – al, l = k + 1, m.

(3)

Используя (1), (2), (3), получим ограничения в требуемой стандартной форме:

yr = – ar 1 x 1 – ar 2 x 2 – … – arn xn + ar ≥ 0, r = 1, k; yl = al 1 x 1 + al 2 x 2 + … + aln xn – a l ≥ 0, l = k + 1, m.

(4)

Теперь модель получит следующее выражение:

z 0 = p 1 x 1 + p 2 x 2 + …+ pn xn → max; yr = – ar 1 x 1 – ar 2 x 2 –…– arn xn + ar ≥ 0, r = 1, k; yl = al 1 x 1 + al 2 x 2 +…+ aln xn – al ≥ 0, l = k + 1, m; x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, …, xn ≥ 0.

или

z 0 → max; yr ≥ 0, r = 1, k; (5) yl ≥ 0, l = k +1, m; xj ≥ 0, j = 1, n.

В случае, если независимые переменные могут измениться в каком- то диапазоне b_j ≥ x_j ≥ c_j, то каждое двухстороннее ограничение заменяется двумя: b_j – x_j ≥ 0; x_j – c_j ≥ 0.

Кроме того, следует иметь в виду, что уравнений каждого типа может быть несколько. Это зависит от того, сколько критериев используется при решении задачи, на сколько видов ресурсов существуют ограничения и по какому количеству экономических показателей есть задания или планы.

МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

При построении математической модели практической ситуации рекомендуется:

1. Сформулировать цель моделирования ситуации:

а) определить потребляемые организацией ресурсы z_r, r = 1, k;

б) определить выходные экономические показатели z_l, l = k +1, m;

в) выбрать показатель эффективности или качества принимаемых решений z ₀;

г) сформулировать требования к уровням расхода ресурсов и результирующих экономических показателей, а также к общему показателю деятельности.

Например: Цель моделирования: z ₀ → max.

Ограничения на ресурсы и экономическиепоказатели: z_r ≤ a_r, r = 1, k;

z_l ≥ a_l, l = k + 1, m.

2. Определить управляющие переменные x_j, j = 1, n и возможный диапазон их изменения с_j ≤ x _j≤ b_j, j = 1, n.

3. Определить зависимость управляемых переменных (z ₀, z_r, z_l, r = 1, k, l = k + 1, m) от управляющих (x_j, j = 1, n).

ЗАДАНИЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

Требуется построить линейную экономико-математическую модель деятельности туристской фирмы, дать экономическую интерпретацию параметров модели для следующих данных.

Организация предоставляет два вида услуг:

-визовую поддержку,

-продажу авиабилетов в страны Европы.

Организационно-экономические возможности фирмы следующие:

-выход в Интернет – не более 500 Мб в неделю,

-поездки в посольства и представительства стран Европы в других городах - не более 6 раз в неделю.

Дополнительные сведения о нормах объемов информации по сети Интернет (по ADSL-технологии) и поездок в посольства или представительства в других городах приведены в таблицах 1, 2.

Выручка фирмы от предоставления двух видов услуг должна составлять не менее 20000 руб. в день, в т.ч. от продажи авиабилетов - не менее 10000 руб.

Исходные данные для практических работ № 1,2,3. Таблица 1

Виды услуг

Объем информации Мб/ед

Количество поездок в Москву ед / нед

ТЭП по вариантам: стоимость единицы услуг / прибыль с единицы услуг; руб./ед.

1.Визовая поддержка(x1)

2.Продажа авиабилетов

-

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что представляет собой разность (a_r – z_r)?

2. Что представляет собой разность (z_l – a_l)?

3. Назовите виды услуг, оказываемых в туристском бизнесе.

4. Что может относиться к ресурсам турфирмы?

5. Поясните экономический смысл всех параметров вашей модели:

- в нестандартном виде;

- в стандартном виде.