Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения

Предположим, что изучается некоторая случайная величина X, закон распределения которой в точности неизвестен, и требуется определить этот закон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина X подчинена тому или иному закону. С этой целью над случайной величиной X производится ряд незави­симых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

[ГЛ. 7

величина X принимает определенное значение. Совокупность наблю­денных значений величины и представляет собой первичный стати­стический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Обычно про­стая статистическая совокупность оформляется в виде таблицы с од­ним входом, в первом столбце которой стоит номер опыта i, а во втором — наблюденное значение случайной величины.

Пример 1. Случайная величина f-J — угол скольжения самолета в мо­мент сбрасывания бомбы ')■ Произведено 20 бомбометаний, в каждом из ко­торых зарегистрирован угол скольжения р в тысячных долях радиана. Результаты наблюдений сведены в простой статистический ряд:

Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами. Одним из способов такой обработки является построение статистической функции распределения случайной величины.

Статистической функцией распределения случайной вели­чины X называется частота события X < х в данном стати­стическом материале:

F*(x) = P*(X<x). (7.2.1)

Для того чтобы найти значение статистической функции распре­деления при данном х, достаточно подсчитать число опытов, в ко­торых величина X приняла значение, меньшее чем х, и разделить на общее число п произведенных опытов.

Пример 2. Построить статистическую функцию распределения для случайной величины (3, рассмотренной в предыдущем примере²).

') Под углом скольжения подразумевается угол, составленный вектором скорости и плоскостью симметрии самолета.

²) Здесь и во многих случаях далее, при рассмотрении конкретных прак­тических примеров, мы не будем строго придерживаться правила — обозна­чать случайные величины большими буквами, а их возможные значения — соответствующими малыми буквами. Если это не может привести к недора­зумениям, мы в ряде случаев будем обозначать случайную величину и ее возможное значение одной и той же буквой.

7.21

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Решение. Так как наименьшее наблюденное значение величины равно
_ 100, то F( —100) = 0. Значение —100 наблюдено один раз, его частота

равна -™-; следовательно, в точке —100 F* ($) имеет скачок, равный -щ,

В промежутке от —100 до — 80 функция F* (Р) имеет значение-^г-; в точке

—80 происходит скачок функции F* (р) на -~г, так как значение — 80 на­блюдено дважды, и т. д.

График статистической функции распределения величины представлен на рис. 7.2.1.

Статистическая функция распределения любой случайной вели­чины.— прерывной или непрерывной — представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины X было наблюдено только один раз, скачок статистической функции

распределения в каждом наблюденном значении равен —, где п —

число наблюдений.

При увеличении числа опытов п, согласно теореме Бернулли, при любом х частота события X < х приближается (сходится по вероят­ности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличе­нии п статистическая функция распределения F* (х) приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения F(x) случайной величины X.

Если X — непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений п число скачков функции F* (х) увеличивается, самые скачки уменьшаются и график функции F* (х) неограниченно приближается к плавной кривой F(x) — функции распределения ве­личины X.