Косвенные измерения

Особенность косвенных измерений состоит в том, что величина А, значение которой надо измерить, является известной функцией / ряда других величин — аргументов х₁, x₂,..., х_т. Данные аргументы подвер­гаются прямым измерениям, а величина А вычисляется по формуле

А=f (х₁ х₂,...,х_т). (2.49)

Методика обработки результатов косвенных измерений изложена в документе МИ 2083—90 «ГСОЕИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей». В нем рассмот­рены случаи линейной и нелинейной функции (2.49) при отсутствии и наличии статистической связи (корреляции) между погрешностями из­мерений аргументов. Приводится критерий проверки гипотезы об отсут­ствии указанной корреляции.

Оценка результата и погрешностей измерений. Каждый аргумент в выражении (2.49) измеряется с некоторой погрешностью. Поэтому лю­бой из них можно представить в с ледующем виде:

x _i =x˜ _i + Δ_i = х˜ + (Δ_с1 + Δ˚_i), (2.50)

где x _i,x ˜ _i и Δ_i — соответственно истинное значение, оценка и абсолютная

погрешность результата измерения i-го аргумента, а параметры Δ_с1, и Δ˚_i — систематическая и случайная составляющие погрешности Δ_i.

Задача состоит в том, чтобы с помощью функции (2.49) и ее аргумен­тов найти оценку результата А˜ и его погрешности Δ(А˜) в виде, подоб­ном (2.50):

где Δ_С(А˜) и Δ˚(А˜) — систематическая и случайная составляющие погреш­ности Δ(А˜). Для решения задачи подставим аргументы (2.50) в (2.49), что приводит к выражению

(2.52)

Положим, что в этой формуле погрешности Δ _i, аргументов малы по сравнению с оценкой x˜_i аргументов и что в пределах изменения А,

допустима линеаризация функции (2.52). Учитывая это, разложим данную функцию в ряд Тейлора и оставим в нем только члены перво­го порядка:

(2.53)

где — частные производные, вычисляемые при оценках x˜_t; R -

остаточный член ряда Тейлора:

(2.54)

Из (2.53) получаем формулу для оценки результата косвенного изме­рения

(2.55)

а также выражение для оценки абсолютной систематической погрешно­
сти

(2.56)

в котором частные производные называются коэффициентами

влияния i-го аргумента, а слагаемые - частными погрешностями.

На практике систематические погрешности Δ _i аргументов стремятся устранить, а неисключенные остатки таких погрешностей рассматри­вают как случайные, подчиняющиеся равномерному закону распре­деления. Поэтому выражение для оценки систематической погрешно­сти косвенного измерения, приведенное далее, отличается от соот­ношения (2.56).

Для оценки случайной составляющей погрешности косвенного изме­рения вычитают (2.55) и (2.56) из (2.53). В оставшемся выражении

(2.57)

усредняют квадраты левой и правой части, что позволяет в итоге найти оценку среднеквадратического отклонения S(A) случайной погрешности результата косвенного измерения в зависимости от оценок СКО случайных погрешностей аргументов:

(2.58)

где r˜_ij — оценка коэффициента корреляции, определяющего меру ста-

стической связи случайных величин х, и Xj. Все возможные значения оценки коэффициента корреляции 7у лежат в интервале от -1 до +1. Ус­тановление значения r˜_ij обычно затруднительно. Поэтому рассматрива- ют два случая: r˜_ij = 1 (полная статистическая связь) и r˜_ij =0 (отсутствие таковой).

При r˜_ij = 0 оценку СКО S(А˜) вычисляют по формуле

(2.59)

Для использования выражений (2.58) и (2.59) требуется вычисление оценок СКО σ˜ _i, аргументов функции (2.49) на основе обработки ре­зультатов их многократных наблюдений.

Рассмотрим частные случаи вычисления СКО S(A ˜ ) косвенного изме­рения при отсутствии корреляции между погрешностями измерения ар­гументов.

Пусть функция (2.49) имеет вид суммы

(2.60)

Найдя ее частные производные и подставив их в (2.59), по-

лучаем

Предположим, что функция (2.49) имеет вид произведения

(2.62)

При условии распределения плотности вероятности погрешностей ре­зультатов измерения всех аргументов функции А = f(xi, x₂,..., х_т) по нормальному закону граница Δ_г вычисляется по формуле, подобной (2.36):

(2.64)

где t(Р д, п) - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р д и некоторому п = f_э + 1; S(A˜) — оценка среднеквадра-

тического отклонения случайной погрешности косвенного измерения (2.59). Коэффициент f_э — эффективное число степеней свободы распре­деления Стьюдента — рекомендуется рассчитывать по приближенной формуле

(2.65)

где пi, - число измерений при определении аргумента x_i.

Граница θ неисключенных систематических погрешностей результата косвенного измерения вычисляется без учета знака по формуле

где к, α, β,γ, — константы. Определяем ее частные производные по х₁ х₂,..., х_т и подставляем их в (2.59). После простых преобразований по­лучаем удобное для расчетов выражение

(2.66)

(2.63)

где — относительные среднеквадратические отклонения

случайных погрешностей результата измерения А˜ и i-го аргумента.

Доверительные границы случайной погрешности и неисключенных систематических погрешностей. При косвенных измерениях, как и при рассмотренных ранее многократных наблюдениях прямых измерений,

оценка результата измерения А˜ (2.55) является случайной величиной и отличается от истинного значения, которое обозначим через А_И. По­этому практический интерес имеет оценка доверительного интервала (А˜ -Δ_г, А˜ + Δ _г), в котором находится А_И. с заданной доверительной веро­ятностью Р д, где ± Δ _г — доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения.

здесь θi — заданные границы результатов измерений неисключенных систематических погрешностей аргументов; к — поправочный коэффи­циент, значения которого вычисляются по табл. 2.7 с учетом задаваемой доверительной вероятности Р ддля оценки значения θi, а также числа т составляющих θi. Погрешность расчета границы θ по формуле (2.66) не превышает 5%.

Границы погрешности результата косвенного измерения. Суммарные границы ±Δ погрешности результата косвенного измерения вычисляют с учетом границы неисключенных систематических погрешностей 0 (см. формулу (2.66)) и доверительной границы е случайной погрешности (2.64) в зависимости от отношения θ /S(A˜), где S(A˜) — оценка средне-

квадратического отклонения случайной погрешности косвенного измере­ния. Порядок такого учета аналогичен соответствующему учету для однократных прямых измерений и указан в табл. 2.8, где коэффи­циент К зависит от задаваемой доверительной вероятности (Рд = 0,95

или Рд = 0,99) и отношения θ /S(A˜). Значения данного коэффициента при косвенных измерениях выбираются по табл. 2.10.

Таблица 2.10. Зависимости коэффициента К при косвенных измерениях

Результат косвенного измерения и его погрешность должны пред­ставляться в виде формулы

х_и= A˜ ± Δ(Рд). (2.67)

В заключение отметим, что при однократных измерениях аргументов процедура определения результата косвенно измеряемой величины со­храняется такой же, как и при многократных измерениях.

2.7. Метрологические характеристики средств измерений и их нормирование

Каждому виду средств измерений приписываются определенные но­минальные (в данном случае близкие к теоретическим) метрологические характеристики. Реальные же характеристики средств измерений, как правило, не совпадают с номинальными, что и определяет их инстру­ментальные погрешности.

К метрологическим характеристикам средств измерений относятся те, которые оказывают влияние на результаты и погрешности изме­рений. С помощью этих характеристик оценивается погрешность из­мерений, выполняемых используемыми СИ в известных условиях. Для совокупности рабочих средств измерений определенного типа данные о метрологических характеристиках содержатся в нормах, установленных в соответствующих нормативно-технических доку­ментах. Причем отдельный экземпляр СИ должен иметь метроло­гические характеристики, не выходящие за пределы, оговоренные в вышеуказанных документах.

Средства измерений могут применяться в нормальных и рабочих ус­ловиях. Эти условия для конкретных видов СИ установлены в стандар­тах или технических условиях.

Нормальным условиям применения средств измерений должен удовле­творять ряд следующих (основных) требований: температура окружаю­щего воздуха (20±5)°С; относительная влажность (65±15)%; атмосферное давление (100±4) кПа; напряжение питающей сети (220±4) В и (115±2,5)

t

частота сети (50±1) Гц и (400+12) Гц. Как следует из перечисленных тре­бований, нормальные условия применения СИ характеризуются диапа­зоном значений влияющих на них величин типа климатических факто­ров и параметров электропитания.

Рабочие условия применения СИ определяются диапазоном значений влияющих величин не только климатического характера и параметров электропитания, но и типа механических воздействий. В частности, диа­пазон климатических воздействий делится на ряд групп, охватывающих широкий диапазон изменения окружающей температуры.

Одной из важнейших метрологических характеристик является по­грешность средств измерения, позволяющая оценить инструментальную погрешность (точность) измерения ими физической величины. Причем погрешность средства измерения может быть представлена в форме аб­солютной (Δ), относительной (δ) или приведенной (δ_пр) погрешностей. Указанные погрешности определяются аналогично погрешностям изме­рений, заданным соответственно выражениями (2.1), (2.2) и (2.3). Однако в них вместо результата измерения х должно использоваться показание средства измерения (измерительного прибора) у.

В учебной и технической литературе это показание обозначают ино­гда в виде А, А_п, А_Х, х_п или х_изм.

Как отмечалось в разделе 2.1, погрешность СИ, используемого в нормальных условиях, называется основной, а в условиях, не выхо­дящих за границы рабочих, — дополнительной. Для СИ электриче­ских величин основная и дополнительная погрешности нормируются отдельно. Порядок такого нормирования рассмотрен ниже. Здесь же остановимся на формах представления погрешностей СИ, воспользо­вавшись для их наглядного получения и анализа градуировочной ха­рактеристикой СИ.

Градуировочной характеристикой средства измерения называется за­висимость вида у =f (x) имеющая место между его выходной у и входной х величинами. Пусть функция у_И = f_И (x) — номинальная градуировочная характеристика, которой должно обладать СИ, а у = f(x) — реальная, соответствующая конкретным условиям его использования. Для широ­кого круга средств измерений данные характеристики имеют следую­щую аналитическую форму записи:

(2.69)

где S _Н и S — номинальная и реальная чувствительности СИ, оп­ределяемые выражением (1.4); у_он, у_о, — соответственно выходные ве­личины при отсутствии и наличии так называемой аддитивной (см. ниже) составляющей погрешности.

Рис. 2.11. Погрешности измерительного прибора: а — абсолютная; 6 — относительная

График абсолютной погрешности СИ общего вида Д = а + bх приве­ден на рис. 2.11, а для диапазона измерений 0 < х < х_k, где х_k — конечное значение диапазона измерений; а и b х — соответственно аддитивная и мультипликативная составляющие.

Рис. 2.10. Характер отклонений реальной градуировочной характеристики СИ от номинальной, вызывающих погрешности: а — аддитивную; б — мультипликативную; в — сумму аддитивной и мультипликативной Абсолютная погрешность СИ равна разности значений реальной и номинальной градуировочной характеристик при одном и том же значе­нии измеряемой величины х: А = А(х) = у(х)-уи(х). (2.70) В общем случае абсолютная погрешность средств измерения А (рас­смотрим случаи, когда она положительна) состоит из аддитивной (сум­мируемой с измеряемой величиной) и мультипликативной (умножаемой на измеряемую величину) составляющих. Аддитивная составляющая не зависит, а мультипликативная зависит от измеряемой величины х. На­личие в погрешности Д аддитивной и мультипликативной составляющих связано с характером отклонения реальной градуировочной характери­стики СИ от номинальной. Три возможных случая такого отклонения градуировочной характе­ристики СИ (для линейного вида зависимости) от номинальной пред­ставлены на рис. 2.10. Отклонение градуировочной характеристики от номинальной, пока­занное на рис. 2.10, а, приводит к появлению в абсолютной погрешности СИ только аддитивной составляющей:

Для построения соответствующего графика относительной погреш­ности средств измерений 5 = 100Δ/х_и = 100Δ/х необходимо учитывать следующее обстоятельство. При оценке относительной погрешности принято значения аддитивной и суммарной составляющих абсолютной погрешности Д выражать в долях конечного значения диапазона измере­ний л_к так, как показано на рис. 2.11, а. Причем в конце диапазона изме­рений эти составляющие должны быть соответственно равны:

(2.74)

(2.75)

(2.71)

В этих формулах d = 100а/х_k и с = 100(а + b х_k)/х_k — коэффициенты, характеризующие точность СИ и равные его относительным погрешно­стям (аддитивной и суммарной соответственно) при я: = х_к. При этом, как следует из рассмотрения треугольника ABC на рис. 2.11, а, коэф­фициент b равен

где а — постоянная, выраженная в единицах измеряемой величины.

Отклонение характеристик, приведенных на рис. 2.10, б, вызывает муль­типликативную (умножаемую на измеряемую величину) погрешность

(2.76)

С учетом данного значения для b, а также величины коэффициента а в (2.74) выражение для относительной погрешности СИ принимает вид

(2.72)

где b — постоянный коэффициент.

Отклонение характеристик, представленных на рис. 2.10, в, приводит к появлению в абсолютной погрешности суммы аддитивной и мульти­пликативной составляющих:

(2.73)

(2.77)

Из графика функции δ (см. рис. 2.11, б) наглядно видно, что относи­тельная погрешность СИ δ увеличивается и изменяется по гиперболе при Уменьшении измеряемой величины х. Поэтому следует выбирать такой диапазон измерений, в котором значение х близко к х_k. Напомним, что рас-

смотренные выше выражения и графики для абсо­лютной Δ и относительной δ погрешностей СИ по­лучены для приведенного на рис. 2.10, в частного варианта, когда Δ > 0. Однако в практике измере­ний вполне возможно получение значения А < 0. Поэтому в общем случае выражения для абсолют­ной и относительной погрешностей СИ аналитиче­ски записываются со знаком «+».

Наряду с аддитивной и мультипликативной по­грешностями средства измерений (как, впрочем, и сами измерения) могут вносить и погрешности нелинейного характера, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины, как это показано на рис. 2.12.

Перейдем к рассмотрению порядка нормирования (установки норм) по­грешностей средств измерений. Как уже отмечалось ранее, для СИ электри­ческих величин основная и дополнительная логрешности нормируются от­дельно. Максимальная основная погрешность измерительного прибора, при которой он допускается к применению, называется пределом допускаемой ос­новной погрешности. Способы выражения предела допускаемой основной погрешности для измерительного прибора установлены ГОСТ 8.401—80 «Классы точности средств измерений. Общие требования».

Рассмотрим формы аналитического выражения и способы нормиро­вания пределов допускаемых основной и дополнительной погрешностей средств измерений.

Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности, выраженные в единицах измеряемой величины или условно в делениях шкалы СИ, устанавливают по одной из следующих двух формул на основании вы­ражений (2.71) или (2.73):

(2.78) (2.79)

Пределы допускаемой относительной основной погрешности устанав­ливают как

(2.80)

если Δ = ± а. Здесь q — отвлеченное положительное число.

Когда абсолютная погрешность задана формулой (2.79), пределы до­пускаемой относительной основной погрешности

(2.81)

Пределы допускаемой приведенной основной погрешности устанавли­вают по формуле

(2.82)

где р — отвлеченное положительное число; X_k — нормирующее значе­ние, выраженное в тех же единицах, что и абсолютная погрешность А.

Отвлеченные положительные числа q, p, с и d выбираются из ряда предпочтительных чисел:

(2.83)

гдеи= 1,0,-1,-2 и т.д.

Для средств измерений с равномерной, практически равномерной или степенной шкалой значение X_N принимают следующим:

- большему из пределов измерений или равным большему из модулей
пределов измерений, если нулевое значение (нулевая метка) находится
на краю или вне диапазона измерений;

- сумме модулей пределов измерений, если нулевое значение внутри
диапазона измерения.

Представленные формы записи пределов допускаемой основной по­грешности используются для установления класса точности СИ, которые имеют различные обозначения.

Необходимо отметить, что в ГОСТе дается следующее определе­ние класса точности: «Класс точности средства измерения — обоб­щенная характеристика СИ, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также другими свойст­вами СИ, влияющими на точность, значения которых устанавливают в стандартах на отдельные виды средств измерений». Есть в данном документе и такое примечание: «Класс точности средств измерений характеризует их свойства в отношении точности, но не является не­посредственным показателем точности измерений, выполненных с помощью этих средств» (ГСОЕИ. Метрология. Термины и определе­ния. - М.: Изд-во стандартов, 1991). Классы точности измерительных приборов, пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать по формуле (2.81) (т.е. в виде дольного значения предела допускаемой основной погрешности), обозначают числами с и d (в процентах), разделяя их косой чертой (например, 0,05/0,02).

При нормировании допускаемой абсолютной основной погреш­ности классы точности обозначают прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами. При этом более высоким классам точности соответствуют начальные буквы алфавита или меньшие числа.

Правила и примеры обозначения классов точности измерительных приборов приведены в табл. 2.11.

Таблица 2.11. Примеры обозначения классов точности

Для разных способов нормирования погрешностей средств измере­ний вычисления погрешностей различны. Рассмотрим характерные слу­чаи и примеры к ним.

1. Класс точности прибора указан буквой р. Тогда согласно (2.82) аб­
солютная погрешность результата измерения Δ = ±рх_к/100. Пусть класс
точности используемого вольтметра 1,0. Проводилось измерение напря­
жения в точке х = 1 В на пределе измерения х_х = 10 В. Тогда относитель­
ная погрешность результата измерения

2. Класс точности используемого вольтметра указан как c/d. В этом
случае удобнее вычислить относительную погрешность результата изме­
рения по формуле , а затем найти абсолют­
ную погрешность как Δ = δ_np x/100. Пусть класс точности используемого
вольтметра . Проводилось измерение напряжения в точке х = 2
В на пределе измерения x_np = 10 В. Тогда относительная погрешность ре­
зультата измерения а абсолютная
погрешность напряжения

В некоторых случаях инструментальная погрешность прибора рас­сматривается как случайная с равномерным законом распределения. То­гда

Заканчивая описание инструментальных погрешностей, отметим осо­бенности точности цифровых средств измерения, которые имеют опре­деленные свойства. В частности, в цифровых измерительных приборах аддитивная погрешность определяется погрешностью квантования (по­грешностью дискретности). При плавном изменении входной величины х (например, напряжения в диапазоне 0...5 мВ) цифровой вольтметр с пределом измерения 100 мВ не может дать других показаний, кроме дис­кретных значений 0-1-2-3-4-5 мВ. Поэтому при возрастании величины х от 0 до 0,5 мВ прибор будет показывать х = 0. При превышении значе­ния 0,5 мВ цифровой вольтметр даст показания х = 1 мВ и сохранит его до х = 1,5 мВ и т.д.

2.8. Информационные характеристики средств измерения

В последние годы наблюдается внедрение методов теории информа­ции в процессы получения измерительных данных. С точки зрения этой теории суть измерения состоит в сужении интервала неопределенности меры информации от значения, известного перед его проведением, до величины, называемой энтропийным интервалом неопределенности Δ_э. Одним из основных понятий теории информации является так называе­мая условная энтропия Н(х), которая для плотности вероятности распре­деления погрешностей ρ(х) определяется по формуле

(2.84)

Условная энтропия характеризует неопределенность наших знаний (сведений), остающуюся после получения (после проведения измерений) значения измеряемой величины при свойственном ей законе распределе­ния вероятностей.

Поскольку все средства измерения предназначены для получения из­мерительной информации, необходимо особо остановиться на их ин­формационных характеристиках.

Согласно основному положению теории информации (теорема тео­рии информации сформулирована К. Шенноном), получаемое в резуль­тате измерения количество информации I равно уменьшению неопреде­ленности, т.е. разности энтропии, до и после измерения:

(2.85)

Здесь Н(х) — безусловная (априорная) энтропия; Я — — условная

— условная

(апостериорная, т.е. полученная после измерений) энтропия, т.е. энтро­пия величины х при условии, что получен результат измерений х_и. Оче­видно, что условная энтропия определяется законом распределения по­грешности Д средства измерения:

(2.86)

Если погрешность измерения распределена равномерно на интервале [-Δ_m... +Δ_m, то условная энтропия

(2.87)

распределения, которая вносит такое же дезинформационное действие, как и погрешность с любым другим законом распределения плотности вероятности.

Так, например, если погрешность распределена нормально, то энтро­пийное значение погрешности

(2.90)

Подобным образом определяется энтропийное значение погрешности для любого конкретного закона распределения плотности вероятности.

В общем виде зависимость между энтропийным и среднеквадратиче-ским значениями погрешности может быть представлена в виде

(2.91)

где к_э — энтропийный коэффициент.

Энтропийный коэффициент к_э зависит от вида закона распределения плотности вероятностей погрешностей. Для равномерного распределе­ния энтропийный коэффициент

(2.92)

а нормального распределения

Для нормального закона распределении погрешности со среднеквад-ратическим отклонением σ условная энтропия

(2.88)

Опустив достаточно сложные выкладки, приведенные в специальной литературе, окончательно запишем:

(2.89)

где е - основание натурального логарифма.

Из сравнения формул (2.84) и (2.89) нетрудно заметить, что измери­тельные приборы, имеющие различные законы распределения погреш­ностей, могут давать одинаковое количество информации при измере­нии одной величины. Для рассматриваемого случая это выполняется при . Поэтому в качестве характеристики воздействия на точ­ность измерения погрешности с произвольным законом распределения используют ее энтропийное значение.

В метрологии энтропийным значением погрешности измерения приня­то считать наибольшую величину погрешности при равномерном законе

(2.93)

Рассчитанные величины энтропийного коэффициента характеризуют область его значений, соответствующую большинству реальных одно-модальных (с одной вершиной) законов распределения плотностей веро­ятности погрешности.

Из теории погрешностей известно, что при одинаковых среднеквад-ратических значениях погрешности дезинформационное действие по­грешности с любым законом распределения меньше дезинформационно­го действия погрешности, распределенной по нормальному закону.

Для доказательства этого положения сравним два прибора, пред­назначенных для измерения одной и той же физической величины, но имеющих различные законы распределения погрешности. Пусть по­грешность первого прибора имеет равномерное распределение на интервале (-10^-2, + 10^-2), а погрешность второго прибора — нормаль­ное с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением σ₂ = 0,5*10^-2. Сравним эти приборы по точности, выбрав в качестве критерия такие параметры, как: наибольшую погреш­ность, среднеквадратическое отклонение погрешности и энтропий­ную погрешность.

Первый прибор имеет наибольшее значение погрешности Δ₁ = 10^-2. Погрешность второго прибора не ограничена, ее наибольшее значение в принципе равно бесконечности. В метрологической практике для нор­мального распределения часто используют значение «трех сигм», при­нимая величину погрешности Δ_х = 3σ. В данном примере Δ₂ = 3σ₂ =

= 1,5*10 ². По этому критерию следует отдать предпочтение первому прибору, однако нельзя считать достаточно обоснованным принятое значение наибольшей погрешности второго прибора.

Соеднеквадратическое отклонение погрешности первого прибора

, следовательно, по этому критерию предпочти­тельнее второй прибор (σ₂ = 0,5*10^-2).

При использовании информационного подхода к измерениям ис­пользуется сравнение приборов по количеству информации, получае­мой при измерении, т.е. по энтропийному значению погрешности. Для первого прибора согласно (2.91) энтропийное значение погрешности Δ_э1 =k,a= 10^-2, а для второго — Δ_э1 = k_нσ = 2,07*0,5*10^-2 = 1,035*10^-2. Ана­лиз энтропийных значений показывает, что по информационному кри­терию эти приборы практически одинаковы.

Некоторые метрологи в области радиотехнических измерений счита­ют энтропийную погрешность более точной и отвечающей современно­му информационному подходу к характеристике процесса измерения физических величин. Информационный подход позволяет с единых по­зиций анализировать измерительные устройства как в статическом, так и в динамическом режимах работы, оптимизировать технические харак­теристики и оценить предельные возможности тех или иных средств из­мерений.

Однако классические методы оценки погрешности измерений также имеют свои преимущества и по-прежнему широко применяются в метро­логии.