Пусть в некотором промежутке определена функция . Зафиксируем , принадлежащее этому промежутку.
Дадим аргументу приращение , так чтобы точка также принадлежала этому промежутку. При этом функция получит приращение
.
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции в точке и обозначают (читается "эф штрих от икс нулевого").
Таким образом,
.
Определение. Производной данной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю.
Пример 1. Дана функция . Найти ее производную в произвольной точке .
Решение:
Аргументу даем приращение . Находим :
,
Составляем отношение и находим предел этого отношения:
.
Таким образом, , т.е. производная функции равна 1 в любой точке.
Ответ: в любой точке.
Пример 2. Найти производную функции в произвольной точке .