Пусть М, М0 – две различные точки кривой (рис. 7.2)
T М´
М0 М L
Рис. 7.2. Касательная к кривой
Прямая (ММ0) называется секущей кривой L.
Пусть точка М, перемещаясь по кривой L, приближается к точке М0. Если секущая стремится занять предельное положение (М0Т), то прямая (ТМ0) называется касательной к кривой L в точке М0.
Допустим, кривая L является графиком непрерывной функции y=ƒ(x) (рис. 3.3).
y
M(x;y)
y0
M0(x0;y0)
β α
0 х0 x x
На рис. 7.3: если (М0М) – секущая, - угловой коэффициент секущей, тогда
; .
Пусть х стремится к х0, тогда точка М стремится по кривой L к М0. Если функция ƒ(х) имеет производную в точке х0, то
Таким образом, производная функции ƒ(х) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
y = kx+b или y=ƒ’(х0)∙x+b.
Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку М0. Подставляем координаты точки М0 (х0 ;ƒ(х0)) в уравнение касательной:
ƒ(х0) = ƒ′(х0)∙х0+b,
|
|
откуда
b = ƒ(х0)- ƒ′(х0)∙ х0
Уравнение касательной принимает вид:
y =ƒ′(х0)∙(x- х0)+ƒ(х0) (3.8)
Пример:
7.24 Написать уравнение касательной к параболе y=x² в точке с абсциссой х0=1.
Решение: Имеем ƒ(х0)=х²0; ƒ(х0)=1 при х0=1; ƒ′(х0)=2∙ х0; ƒ′(х0)=2 при х0=1.
Уравнение касательной: y=2∙(x-1)+1 или y=2∙x-1.
Упражнения: Написать уравнения касательных к графику функции y=ƒ(x) в точке с абсциссой х0:
7.25 а) y=x3; х0=1;
б) ; х0=1;
в) ; х0=4
г) y=x²-2x+5; х0 =0,5