Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Однородные второго порядка
Составляется характеристическое уравнение:
а) если дискриминант , то корни действительны и различны: ,
то общее решение уравнения:
б) если , то корень один ,и общее решение:
в) если , то корни комплексные и решение:
|
Однородные n -ого порядка
|
Составляется характеристическое уравнение:
а)если корни действительны и различны: , то общее решение уравнения:
б)если среди корней характеристического уравнения имеются комплексные корни: , то им соответствуют два линейно независимых решения:
в)если среди корней характеристического уравнения имеется корень λ, кратности k > 1, то есть λ 1 = λ 2 = …= λ k = λ, тогда ему соответствуют k корней:
г)если - комплексные корни, кратности k, то аналогично
|
Неоднородные
|
Общее решение: у = уобщ + участн,
где уобщ – это решение однородного уравнения, а участн находится методом вариации произвольных постоянных
|
Метод вариации произвольных постоянных
а)если
q(x) = eγxPm(x),
где Pm(x) – многочлен m – ой степени, то частное решение нужно искать в виде:
yчаст = xseγxQm(x),
где Qm(x) – многочлен m – ой степени с неопределенными коэффициентами;
s = 0, если γ – не является корнем характеристического уравнения
s – равно кратности корня γ, если γ – является корнем характеристического уравнения
б)если
q(x) = eγx(Pn(x)cosβx + Rm(x)sinβx),
где Pn(x) и Rm(x) многочлены степени m и п,
тогда частное решение нужно искать в виде:
yчаст = xseγx [Qk(x) cosβx + Dk(x)sinβx]
где k = max{n;m}
s = 0, если γ + iβ – не является корнем характеристического уравнения
s – равно кратности корня γ, если γ +iβ – является корнем характеристического уравнения
|