Задание
Аппроксимировать табличные значения (таблица 1) методом наименьших квадратов полиномами 1, 2, и 4 степеней.
Таблица 1
X | Y |
-1.0 | 7.75 |
-0.5 | 6.7 |
5.45 | |
0.5 | |
2.35 |
Теоретические сведения
Пусть дана таблица значений функции в узлах , где - количество узлов:
Таблица 2
№ | ||
… | … | … |
k |
Необходимо определить коэффициенты аппроксимирующего полинома порядка n
из условий:
В узлах между значениями полинома и функции будет разность, называемая отклонением. Если выбрать порядок полинома , то получим полином, совпадающий с интерполяционным. Аппроксимирующая кривая в этом случае пройдёт точно через точки таблицы, и величина будет равна нулю.
Подставляя в (2) выражение для полинома (1), получим:
Значения зависят от коэффициентов , т. е. ). Коэффициенты полинома определяются из условия минимума функции :
... … … … (4)
После преобразований (4) получим систему алгебраических уравнений:
; (5)
где с – неизвестные коэффициенты полинома; а – матрица коэффициентов; b – вектор правой части системы уравнений.
|
|
Пусть , тогда система (5) будет выглядеть следующим образом:
Значения полинома в точке x вычисляются по схеме Горнера:
; (7)
Рассмотрим в качестве примера расчёт трёхточечного задания (табл. 3):
Таблица 3
i | X | Y |
-1 | 7.75 | |
5.45 | ||
2.35 |
Полином первого порядка примет вид: . Коэффициенты полинома определяются из условия
Искомый полином запишется в виде: . На рис. 1 представлены исходные данные и аппроксимирующий полином.
Рисунок 1. График исходных данных и полинома. |