Упражнение 57

На плоскости нарисована окружность.
С помощью чертёжного угольника найдите её центр.

Упражнение 58.
На сторонах произвольного четырёхугольника как на диаметрах построены круги. Доказать, что они покрывают его целиком.

Упражнение 59.

А и В – два города. Найти ГМТ таких, что если из них идти напрямик в В, то расстояние до А будет всё время увеличиваться.
Следствия из №16:

1. Середины сторон четырёхугольника являются вершинами прямоугольника Û диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны.
2. Середины сторон четырёхугольника являются вершинами ромба Û диагонали этого четырёхугольника равны.
3. Середины сторон равнобочной трапеции являются вершинами ромба.

Упражнение 60.

Дан угол, вершина которого недоступна и точка а) внутри него, б) вне него.
Построить прямую, проходящую через эту точку и недоступную вершину.

Упражнение 61.

Можно ли расположить на плоскости 2011 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с 2004 прямыми?

Упражнение 62.
Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине A. На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно, причём CH = BC и AK = AB. Докажите, что DH = DК.

Упражнение 63*.

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС выбраны произвольным образом точки С₁, А₁ и В₁ соответственно. Около треугольников СА₁В₁, ВА₁С₁ и АВ₁С₁ описаны окружности. Докажите, что у всех трех окружностей имеется общая точка.

Упражнение 64.

В данную окружность впишите прямоугольный треугольник, катеты которого проходили бы через две данные точки внутри окружности. При каких условиях это возможно?

В каком случае решение будет единственным?

Упражнение 65.

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP = BP + CP.