Методы подбора эмпирических формул

В процессе экспериментальных исследований получается статистический ряд измерений двух величин, когда каж­дому значению функции y_1, y₂, y_n соответствует опре­деленное значение x₁, x₂,.., х _п. На основе экспериментальных данных можно подоб­рать алгебраические выражения функции

y=f(x), (4.1)

которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбираются лишь в пределах измеренных значений аргумента х₁ – x_n и имеют тем большую цен­ность, чем больше соответствуют результатам экспери­мента.

Эмпирические формулы являются при­ближенными выражениями аналитических формул. За­мену точных аналитических выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функ­ции — аппроксимирующими.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов.

I. Данные измерений наносят на сетку прямо­угольных координат, соединяют экспериментальные точ­ки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид фор­мулы.

II. Вычисляют параметры формул, которые наи­лучшим образом соответствовали бы принятой формуле.

Поэтому при ана­лизе графического материала необходимо по возможно­сти стремиться к использованию линейной функции. Для этого применяют метод выравнивания, заключающийся в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой (4.1) в пря­мую линию вводят новые переменные:

Х=f₁(х, у), У=f₂(х, у). (4.2)

В искомом уравнении они должны быть связаны ли­нейной зависимостью

У=а+bХ. (4.3)

В уравнение (4.3) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляют а и b. После установления парамет­ров а и b получают эмпирическую формулу, ко­торая связывает У и X, позволяет установить функциональную связь между х и у и эмпирическую зависимость (4.1).

Так, если экспериментальный гра­фик имеет вид, показанный на рис. 4.1,а, то необходимо применить формулу

. (4.4)

Заменяя и , получим . При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке. Если эксперименталь­ный график имеет вид, показанный на рис. 4.1,б, то це­лесообразно использовать выражение

. (4.5)

При замене получим . Здесь экспериментальная кривая превращается в прямую линию на полулогарифмической сетке.

Если экспериментальный график имеет вид, представленный на рис. 4.1,в, то эм­пирическая формула принимает вид

. (4.6)

а) б) в) г)

Рисунок 4.1 – Основные виды графиков эмпирических формул

Путем замены можно получить прямую ли­нию на сетке прямоугольных координат .

Если график имеет вид, соответствующий кривым на рис. 4.1, г, то используют формулу

. (4.7)

С помощью приведенных на рис. 4.1 графиков и вы­ражений (4.4)...(4.7) можно практически всегда по­добрать уравнение эмпирической формулы.