Макронаблюдаемые

Поскольку результаты измерений, производимых над статистической системой, не воспроизводятся, никакой конкретный результат не годится для объективной характеристики состояния системы. Существует, однако, специальный математический прием, который позволяет придать этим случайным величинам некоторую степень объективности. Этот прием состоит в усреднении результатов длинной серии последовательных измерений одной и той же наблюдаемой.

Если в течение некоторого промежутка времени D t выполнить n измерений, то в результате получим последовательность числовых значений наблюдаемой А = { А ₁, А ₂, А ₃, …, А_n ). Среднее значение можно вычислить по формуле:

Подчеркнем, что усреднение проводится "по времени", т.к. число выполненных измерений n пропорционально величине промежутка времени D t. Соответственно, полученная величина называется средней по времени. Смысл всей статистической механики заключается в переходе от мгновенных значений конкретных результатов измерения к средним по времени.

А_i ® `A<sub>t</sub> B<sub>i</sub> ® `B_t C_i ® `C_t

Очевидно, что при таком переходе существенно меняется смысл, который мы вкладываем в понятие "наблюдаемая" как характеристику состояния системы. В классической или квантовой механике числовое значение наблюдаемой есть результат конкретного измерения (реального или потенциально возможного), и оно определено для точно известного момента времени. В этом случае интервал D t ® 0. Поэтому такие величины обычно называются микро -наблюдаемыми (приставка "микро-" относится здесь не к пространственному, а к временно́му масштабу).

В статистической механике численное значение наблюдаемой есть среднее по длинной серии конкретных измерений, выполняемых последовательно за определенный промежуток времени, и оно имеет смысл не для какого-либо конкретного момента времени, а только для всего интервала D t. Соответственно, для таких величин употребляется наименование макро -наблюдаемых (приставка "макро-" также относится к временно́му масштабу).

Легко видеть что микронаблюдаемые имеют операционный характер, а макронаблюдаемые — конвенциональный. Эта конвенциональность выражается в том, что для усреднения можно использовать разные математические процедуры — среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее квадратичное и т.д. Кроме того, результат усреднения (т.е. значение макронаблюдаемой) будет зависеть от выбора величины интервала D t и количества выполненных на этом интервале измерений.

Преодолеть субъективность конвенциональных макронаблюдаемых можно двумя путями.

Во-первых, оказывается, что если при выполнении серии измерений использовать достаточно большие интервалы времени и количества измерений, получаемые средние стремятся к некоторому постоянному предельному значению. Поэтому под макронаблюдаемой обычно понимают именно это предельное значение:

`A_t (при D t ® ¥, n ® ¥)

Воспроизводимость этих предельных значений (т.е. объективность) и служат основанием для их использования в статистической механике.

Во-вторых, макронаблюдаемым можно придать и операционный смысл за счет использования инерционных приборов, в которых результат измерения формируется в течение достаточно большого времени. Примером может служить обычный манометр, который не может реагировать на удары отдельных молекул. Такого рода инерционные приборы являются аналоговыми вычислительными машинами, в которых происходит определенное усреднение по времени, поэтому результаты измерений в этом случае фактически являются макронаблюдаемыми. Следовательно, из всех возможных способов усреднения наилучшим вариантом является тот, который приводит к согласию с результатами экспериментальных измерений посредством инерционных приборов.

При условии замены традиционных механических микронаблюдаемых на статистические макронаблюдаемые всю остальную логическую схему механического способа описания можно полностью сохранить.

1) Механическое микросостояние, задаваемое результатами мгновенных измерений наблюдаемых, можно заменить на статистическое макросостояние, задаваемое значениями средних по времени:

2) механические уравнения состояния, связывающие значения микронаблюдаемых, можно заменить на статистические уравнения состояния, связывающие значения макронаблюдаемых:

A_i = f (B_i, C_i , …) ¾® `A<sub>t</sub> = f (` B_t, ` C_t , …)

Типичным примером статистического уравнения состояния является т.н. "уравнение идеального газа": PV = RT, которое связывает три макронаблюдаемые — давление Р, объем V, и температуру Т.

3) механические уравнения эволюции, показывающие изменение значений микронаблюдаемых во времени, можно заменить на статистические уравнения эволюции, показывающие изменение во времени значений макронаблюдаемых.

A = f (t) ¾® `A_t = f (t)

В этом отношении макросостояния можно подразделить на два типа:

а) равновесные макросостояния, для которых все макронаблюдаемые не зависят от времени,

б) релаксационные макросостояния, для которых макронаблюдаемые сравнительно медленно эволюционируют во времени. Эта эволюция всегда завершается достижением равновесного значения макронаблюдаемой, которое в дальнейшем уже не изменяется.

Релаксационные уравнения обычно имеют вид:

(`A<sub>t</sub> – А <sub>равн</sub>) <sub>t</sub> = (`A_t – А _равн)_о × exp (– t / t)

где t — время релаксации.

Легко видеть, что установление параметров релаксационного уравнения возможно только тогда, когда время индивидуальной флуктуации очень мало, по сравнению со временем релаксации. Если же время релаксации становится сравнимым со временем отдельной флуктуации, то само понятие среднего по времени теряет смысл и в такой ситуации сам статистический подход оказывается невозможным.