Средняя энергия системы (твердое тело, состоящее из атомов) осцилляторов с одинаковой частотой была найдена ранее:
однако если существует спектр колебаний, т.е. число колебаний на интервал энергий , то
.
Нашей целью будет найти и .
Будем использовать следующую модель: Куб стороной , в котором происходят колебания, которые будем представлять себе как колебания атомов в поле упругих волн. Эти волны могут быть двух видов: продольные и поперечные, которым соответствуют разные фазовые скорости и и уравнения:
и ,
где - вектор смещения (в продольной волне , в поперечной ). Граничные условия для выберем в виде . Рассмотрим, например, –волну. Ищем решение в виде стоячей волны:
.
Подставляя в уравнение, находим, используя граничные условия:
, , ,
где – целые числа.
,
где - некоторый радиус
Таким образом, каждое колебание характеризуется набором трех целых чисел , которым в пространстве чисел соответствует точка. Кроме того, колебания и зависимы, следовательно, можно рассматривать только целые положительные . Так как , то число колебаний в интервале частот равно объему сферического слоя (т.к. объем одной ячейки, соответствует, одному колебанию равен единице):
, (V = l3 – объем кристалла)
Полное число колебаний:
, где .
(так как поперечных колебаний два). Таким образом:
– найдем из условия нормировки:
,
где – постоянная решетки .
Подставляя в выражение для энергии, получаем:
Если ввести температуру Дебая
,
то выражение для энергии можно переписать в виде:
.
Введем функцию Дебая
(рис. 3).
Тогда выражение для энергии перепишется в окончательном виде:
.
Предельные случаи:
- , следовательно, верхний предел в интеграле – мал. Тогда подынтегральную функцию можно разложить в ряд:
.
Тогда и, следовательно – классический закон Дюлонга-Пти.
- (низкотемпературный предел). В этом случае верхний предел интегрирования можно заменить на .
интеграл равен (см. ниже). Тогда:
.