Особенности современного факторного анализа

Факторный анализ отличается от метода главных компонент тем, что в его основе лежит предположение о некотором небольшом количестве фундаментальных переменных, которые не могут быть измерены прямо. Основное отличие между факторным анализом и методом главных компонент заключается в том, что главные компоненты являются линейными функциями от наблюдаемых переменных, в то время как общие факторы не выражаются через комбинацию наблюдаемых переменных. Модель факторного анализа предполагает, что корреляции между наблюдаемыми переменными х_ь х_а..., х_р получаются благодаря их связи с некоторыми фундаментальными переменными, известными как общие факторы, или латентные переменные f_b f_z..., /fo где k<p (надеемся, что к, число латентных переменных, будет намного меньше, чем число явных переменных). Дисперсия исходных переменных здесь объясняется не в полном объеме: признается, что часть дисперсии остается нераспознанной как характерность. Факторы обычно выделяются последовательно: первый, объясняющий наибольшую долю вариации переменных, затем второй, объясняющий меньшую, вторую после первого латентного фактора часть дисперсии; третий и т.д.

В математической записи модель факторного анализа выглядит так:

Xi⁼Ai-|f| + Ai₂f₂⁺.+ A-|kfk⁺Ui,

х₂+ A₂ifi+ A₂₂f₂+...+ A₂kfk+u₂,

*р⁼ A _pifi+ A_p2f2+- • • + A pkfk⁺Up.

Случайная погрешность и, называется характерностью и представляет собой часть наблюдаемой переменной, которая не объясняется действием факторов. Таким образом, модель предполагает, что
дисперсия явной переменной может быть разделена на две части: первая часть называется общностью переменной X и является той дисперсией, которую переменная делит с другими явными переменными посредством их отношения с латентной переменной. Вторая часть, характерность, представляет собой часть единичной дисперсии переменной, которая не связана с общими факторами.

Если латентные факторы не коррелируют, то коэффициенты являются корреляциями между латентными переменными и явными переменными. Они также называются факторными нагрузками и представляются в виде такой же таблицы, как и факторные нагрузки в методе главных компонент.

Соответствие факторной модели полученным данным проверяется путем сравнения исходной корреляционной матрицы с матрицей корреляций, полученной в результате применения модели. Такая оценка соответствия может быть проведена различными методами, которые носят название principal factor analysis (анализ главных факторов).