2015-10-14
769
Задача 1
С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью
5 км/с. Определить высоту, на которую поднимется ракета.
Решение
На ракету действует сила притяжения Земли, которая по закону всемирного тяготения равна:
,
где m – масса ракеты, М З – масса Земли, 
– расстояние до центра Земли. Элементарная работа против силы тяжести при перемещении ракеты вверх на 
равна: 
; полная работа при перемещении ракеты от поверхности Земли до высоты h рассчитывается интегрированием:
.
По закону сохранения энергии кинетическая энергия, которой обладала ракета на Земле, будет израсходована на работу против силы притяжения: 
. Тогда получим уравнение
.
После сокращения на m и подстановки получим выражение для высоты подъема ракеты:
.
Здесь учтено, что 
– ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Ответ: h =1,59 км.
Задача 2. Шар массой 
, движущийся горизонтально с некоторой скоростью 
, столкнулся cнеподвижным шаром массой 
. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?
|
|
|
Решение:Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится отношением:
(1)
где 
– кинетическая энергия первого шара до удара, 
, 
– скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видноиз соотношения (1), для определения 
надо найти . При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами, найдем . По закону сохранения импульса в проекции на ось ОХ, совпадающую с направлением движения, получим:
. (2)
Позакону сохранения механической энергии (потенциальная энергия не изменяется)
, (3)
решая совместно уравнения (2) и (3), найдем
. (4)
Подставимвыражение (4) в (1) и, сократив 
, получим
.
Задача 3.
Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения со скоростью 10 см/с, ударяется о стенку и откатывается от нее со скоростью 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе.
Решение
Будем считать стенку массивной и неподвижной. Тогда по закону сохранения энергии выделившаяся при ударе теплота равна изменению кинетической энергии шара (потенциальная энергия не изменяется):
Q = WК – W К0. (1)
Полная кинетическая энергия катящегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс:
. (2)
Так как качение происходит без проскальзывания, то линейная скорость движения центра масс и угловая скорость вращения связаны соотношением:
= ωR, (3)
где R – радиус шара, JС – момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс:
|
|
|
. (4)
Подставив (3) и (4) в (2), получим формулу для кинетической энергии катящегося шара:
. (5)
Аналогично, начальная кинетическая энергия шара:
. (6)
Подставляем (5) и (6) в (1) и получаем искомую теплоту:
Ответ: Q = 2,52 мДж.
