Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис.5.1), т.е.
. (5.1)
Формула (5.1) можно записать в виде .
Свойства скалярного произведения векторов
1. или . (5.2)
2. . (5.3)
3. . (5.4)
4. .
5. Если ненулевые векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. .
Векторы и , скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными. Если заданы два вектора и , то
, (5.5)
т.е. скалярное произведение двух векторов, заданных в координатной форме, равно сумме произведений одноименных координат.
Некоторые формулы, часто используемые при решении задач
1. Угол между двумя векторами.
. (5.6)
2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов и является условие
.
3. Условие параллельности (коллинеарности) двух векторов и :
, .
4. Проекция вектора на заданное направление.
, т.е. . (5.7)
3. Работа постоянной силы.
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения в положение под действием силы , образующей угол с перемещением (рис.5.2). Известно, что работа силы при перемещении равна
|
|
, (5.8)
т.е. работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Задача 5.1. Найти длину вектора , если , .
Решение. Имеем
.
Задача 5.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, вершины которого в точках , , , , взаимно перпендикулярны.
Решение. С помощью формулы (4.3) определим координаты векторов и , лежащих на диагоналях четырехугольника и вычислим скалярное произведение .
Так как выполнено условие перпендикулярности векторов, следовательно, .
Задача 5.3. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения в положение . Под каким углом к направлена сила ?
Решение. По формуле (4.3) получим . Используя (5.8), находим (ед.работы), угол между и определим по формуле , т.е. .
Отсюда, .
Задача 5.4. Выразить длину медианы произвольного треугольника через длины
его сторон.
Решение. Рассмотрим треугольник . Пусть - одна из медиан треугольника (рис.5.3).
Введем в рассмотрение векторы , и . Тогда . Возведем обе части последнего равенства в квадрат: , отсюда получаем
. (5.9).
Из рисунка 5.3 имеем, что , отсюда . Следовательно, . Подставляя полученное выражение в правую часть равенства (5.9), находим . Итак, длина медианы равна .