Пусть задан определитель n-го порядка
.
Для любого определителя выполнены свойства:
а) если в определителе две строки или два столбца равны, то определитель равен нулю:
б) если в определителе какая-либо строка или столбец состоит из нулей, то этот определитель равен нулю:
в) общий множитель в строке или столбце можно вынести за знак определителя:
г) если в определителе поменять местами две строки или два столбца, то определитель изменит знак:
д) определитель не изменится, если к произвольной строке прибавить другую строку, домноженную на любое число. Это же справедливо и для столбцов. Например, в следующем определителе к третьей строке добавлена первая, домноженная на минус два:
Для вычисления определителей специального треугольного вида применимо следующее правило:
.
Свойства определителей позволяют любой определитель свести к треугольному виду и вычислить его по указанному правилу.
Примеры.
а) (ко второй строке прибавляем первую, домноженную на (-2), к третьей строке прибавляем первую, домноженную на (-3), к четвертой строке прибавляем первую, домноженную на (-8))
|
|
(к третьей строке прибавляем вторую, домноженную на (-2))
(по второму свойству определителей).
б) (поменяем вторую и первую строки местами, чтобы иметь единицу на первом месте в первой строке) =
(ко второй строке прибавляем первую, домноженную на (-3) и т.д.) =
.
в) (к третьей строке прибавляем вторую, домноженную на (-1), к четвертой строке прибавляем третью, домноженную на (-1), для уменьшения чисел в первом столбце)