Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их длин, умноженных на косинус угла между векторами:
. (2.11)
Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов:
1 ) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) или один из векторов нулевой.
Если =(x ,y ,z ), =(x ,y ,z ), то в базисе i, j, k
.
Геометрический смысл скалярного произведения заключается в следующем: длина вектора это корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя ̶ .
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , с общим началом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору наблюдается из конца вектора происходящим против движения часовой стрелки, иначе тройка векторов называется левой.
Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор , который удовлетворяет трем условиям:
1) тройка векторов , , – правая;
2)
3).
Если векторы коллинеарные, тогда векторное произведение векторов равно нулю.
Перечислим основные свойства векторного произведения векторов:
|
|
1)
2)
3) ;
4)
5) геометрический смысл векторного произведения: , где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , имеющих общее начало в точке О (рис. 7).
Рис. 7
Если , то в базисе i, j, k векторное произведение выражается через координаты данных векторов следующим образом:
. (2.12)
Смешанным произведением векторов , , называется число .
Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:
1)
2) ;
3) геометрический смысл смешанного произведения заключается в следующем: =±V, где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах, взятый со знаком «+» если тройка векторов , , – правая, или со знаком «-», если она левая;
4) , , компланарные векторы.
Если , то в базисе i, j, k
. (2.13)