Оцениваемый параметр | Повторная выборка | Бесповторная выборка |
Средняя | (7) | (8) |
Доля | (9) | (10) |
Пример 1. При обследовании выработки 1000 рабочих цеха в отчетном году по сравнению с предыдущим по схеме собственно-случайной выборки было отобрано 100 рабочих. Необходимо определить: а) вероятность того, что средняя выработка рабочих цеха отличается от средней выборочной не более, чем на 1 % (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена средняя выработка рабочих цеха. Рассмотреть случаи повторной и бесповторной выборки. Известно: .
Решение.
а) найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней:
для повторной выборки по (7)
для бесповторной выборки по (8)
Теперь искомую доверительную вероятность находим по (1):
для повторной выборки
для бесповторной выборки
Значение Ф(t) находим по таблице приложения II.
б) найдем предельные ошибки повторной и бесповторной выборок по формуле (3), в которой t=2,00 (находим по таблице приложения II при данной в условии доверительной вероятности из соотношения ).
для повторной выборки
для бесповторной выборки
Пример 2. Из партии, содержащей 2000 деталей, для проверки по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 200 деталей, среди которых оказалось 184 стандартных. Найти: а) вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от полученной доли в выборке не более чем на 0,02 (по абсолютной величине); б) границы, в которых с надежностью 0,95 заключена доля нестандартных деталей во всей партии.
Решение.
N = 2000, n = 200, m=200-184=16 нестандартных деталей. Выборочная доля нестандартных .
а) по (10) найдем среднюю квадратическую ошибку бесповоторной выборки для доли:
по (2) найдем доверительную вероятность
Значение Ф(t) находим по таблице приложения II.
б) учитывая, что и (по таблице) t = 1,96, найдем предельную ошибку выборки для доли (по 4) . Искомый доверительный интервал определяем (по 6) , .
Объем выборки.
Для проведения выборочного наблюдения важно правильно установить объем выборки n, который в значительной степени определяет необходимые при этом временные, трудовые и стоимостные затраты. Для определения n необходимо задать надежность (доверительную вероятность) оценки и точность (предельную ошибку выборки) .
Формулы объема.
Оцениваемый параметр | Повторная выборка | Бесповторная выборка |
Генеральная средняя | (11) | (12) |
Генеральная доля | (13) | (14) |
Если найден объем повторной выборки n, то объем соответствующей бесповторной выборки можно определить по формуле:
(15).
По условию примера определить объем выборки, при котором с вероятностью 0,9973 отклонение средней выработки рабочих в выборке от средней выработки всех рабочих цеха не превзойдет 1% (по абсолютной величине).
и (по таблице приложения II) t = 3,00, найдем объем повторной выборки по (11) . Объем бесповторной выборки по (12): .
Или по формуле .
Если генеральная совокупность бесконечная (N= ), либо объем бесповторной выборки значительно меньше объема генеральной совокупности , расчеты средних квадратических ошибок (для средней и доли) и необходимого объема бесповторной выборки следует проводить по соответствующим формулам для повторной выборки.