Пусть { a1,...,an } − произвольный базис n – мерного евклидова пространства (существование такого базиса обусловлено n – мерностью пространства). Алгоритм построения по данному базису ортонормированного заключается в следующем:
1. b1=a1, e1 = b1 /| b1 |, | e1 |= 1.
2. b2 ^ e1, т.к. (e1, a2)- проекция a2 на e1 , b2= a2- (e1, a2) e1, e2 = b2 /| b2 |, | e2 |= 1.
3. b3 ^ e1, b3 ^ e2, b3= a3- (e1, a3) e1- (e2, a3) e2, e3 = b3 /| b3 |, | e3 |= 1.
.........................................................................................................
k. bk ^ e1,..., bk ^ ek-1, bk= ak- S i=1 k-1 (ei, ak) ei, ek = bk /| bk |, | ek |= 1.
Продолжая процесс, получаем ортонормированный базис { e1,...,en }.
Замечание 1. С помощью рассмотренного алгоритма можно построить ортонормированный базис любой линейной оболочки, например, ортонормированный базис линейной оболочки системы, имеющей ранг равный трем и состоящей из пятимерных векторов.
Пример. x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)
Замечание 2. Особые случаи
Процесс Грама — Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.
Кроме того, процесс Грама — Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт 0 (нулевой вектор) на шаге j, если aj является линейной комбинацией векторов a1,...,aj-1. Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (т.е. количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).
|
|
10. Геометрические векторные пространства R1, R2, R3.
Подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства
R1, R2, R3 . Пространство Rn при n > 3 – абстрактный чисто математический объект.
1) Пусть дана система из двух векторов a и b. Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим a, линейно выражается через другой:
a = k b.
Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только
тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R3, но и к любому линейному пространству.
2) Пусть система в R3 состоит из трех векторов a, b, c. Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем a, линейно выражается через остальные:
а = k b+ l c. (*)
Если считать, что все векторы a, b, c имеют общее начало, то из (*) следует, что все три вектора лежат в одной плоскости.
Определение. Три вектора a, b, с в R3, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными
|
|
(на рис. слева указаны векторы a, b, с из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).
Рис.
Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы a, b, с из R3 компланарны, то они линейно зависимы.
Векторным произведением вектора a, на вектор b в пространстве называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:
- длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними: ;
- вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
- вектор c направлен так, что тройка векторов a, b, c является правой;
Обозначение:
Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке А (то есть выберем произвольно в пространстве точку А и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой А). Концы векторов, совмещённых началами в точке А, не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.
Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.
Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.