Переход к новому базису

Пусть { e ₁,…, e _n } и { f ₁,…, f _n } - 2 базиса в линейном пространстве L. Первый будем считать исходным, а второй – новым. Все векторы нового базиса разложим по векторам исходного: , или в матричной форме записи (f ₁,…, f _n) =(e ₁,…, e _n)× А, или , где − матрица перехода от базиса { e_i } к базису { f _j }, столбцами которой являются координаты векторов f _j в базисе { e_i }.

Так как, по условию, столбцы матрицы A линейно независимы, ее определитель не равен нулю и она имеет обратную. Следовательно, переход от базиса { f _j } к базису { e _i } можно осуществлять по формуле (e _i)=(f _j) А ^-1.

Пусть b – произвольный элемент из L. В базисе { e _i } он равен: , или, в матричной форме: b =(e ₁,…, e _n)×(b ₁,…, b _n)^т.

Соответственно, в базисе { f _j } имеет место равенство b =(f ₁,…, f _n)×(b ₁,…, b _n)^т.

Отсюда: (e ₁,…, e _n)×(b ₁,…, b _n)^т =(f ₁,…, f _n)×(b ₁,…, b _n)^т.

Подставляя { f ₁,…, f _n } из формулы перехода, получим: (e ₁,…, e _n)×(b ₁,…, b _n)^т=(e ₁,…, e _n)× А ×(b ₁,…, b _n)^т.

Т.к. b произвольный вектор L, имеем:

(b ₁,…, b _n)^т = А ×(b ₁,…, b _n)^т _- формула пересчета новых координат в старые и

(b ₁,…, b _n)^т = А ^-1×(b ₁,…, b _n)^т _- формула пересчета старых координат в новые.

Таким образом, для вычисления столбца координат (x)_{{ f }} в новом базисе приходится решать СЛАУ со столбцом старых координат (x)_{{ e }} в правой части: A × (x)_{{ f }}=(x)_{{ e }}