Задача 1. Нехай . Визначити, які з наведених тверджень є правильними, а які – ні. Відповідь обґрунтувати.
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) .
Розв’язання.
a) Твердження правильне, тому що об’єкт міститься у множині .
b) Твердження також правильне, оскільки множина не містить об’єкта .
c) Твердження невірне, тому що серед елементів множини немає елемента Æ.
d) Твердження правильне, оскільки для елементів множини маємо: , отже, .
e) Твердження невірне, оскільки елемент , але .
f) Твердження вірне, оскільки множина Æ не має елементів, тому умова не порушується для жодного .
Задача 2. Обчислити наведені вирази при заданих множинах , , , та .
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
Розв’язання.
a) Оскільки лише елементи 5 та 6 є спільними для множин та , то .
b) Очевидно, не існує жодного елемента, який би належав як множині , так й множині . Отже, множина не містить жодного елемента, тобто є порожньою: .
c) Елементи 2, 8, 0 належать множині і одночасно не належать множині , тому .
d) Оскільки , то, скориставшись рівністю , маємо . Ми отримали елементи, які належать або тільки множині , або тільки множині , але не обом множинам та одночасно.
e) Оскільки , то – множина елементів, які належать універсальній множині і не належать множині . Остаточно, .
Задача 3. Довести, що для будь-яких множин і .
Розв’язання. Для доведення вказаної рівності достатньо показати, що та . Доведемо спочатку, що . Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо: та та , отже, доведено, що , а це означає, що . Тепер покажемо, що : , отже, .
Задача 4. Довести, що з випливає для будь-яких множин .
Розв’язання. Потрібно показати, що за умови . Іншими словами, при доведенні включення можна користуватися не лише загальними відомостями про множини (такими, наприклад, як означення підмножини та операцій над множинами), але й тим, що . Отже, нехай . Тоді, згідно з означенням операції перетину множин, маємо: та . Оскільки , то з того, що , випливає . Отже, з того, що та , випливає , тобто .
Задача 5. Довести, що для будь-яких множин .
Розв’язання. Для доведення цієї еквівалентності потрібно показати, що та .
Доведемо спочатку, перше з цих тверджень. Для цього доведемо включення за умови, що . Отже, нехай . Звідси випливає, що та (тобто ). Оскільки , то , отже, або . Але відомо, що , тобто залишається тільки можливість . Таким чином, показано, що , а це означає, що .
Доведемо друге твердження: . Потрібно показати, що за умови . Нехай . Для довільної множини або , або . Розглянемо окремо кожен з цих випадків. Нехай . Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, що є елементом множини, яка є об’єднанням множини з будь-якою множиною. Отже, . Розглянемо тепер другий випадок, тобто . Тоді , а оскільки , то . Але відомо, що , а це означає, що , тобто .
Доведення можна записати таким чином:
, , ,
або , .
, або 1) , або 2) , .
1) , .
2) , , .
Задача 6. Використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин, довести, що .
Розв’язання. Для спрощення виразу в лівій частині рівності послідовно застосуємо закон де Моргана, тотожність , закон асоціативності та закон ідемпотентності :
.
Задача 7. Спростити вираз .
Розв’язання. Маємо
.
При спрощенні даного виразу послідовно застосовувалися закон дистрибутивності (до виразу ), тотожності та . При перетвореннях також використовувались закони асоціативності та комутативності.
Задача 8. Нехай . Побудувати та .
Розв’язання. Декартовим добутком множин та є множина
.
Декартовим степенем множини є множина
.
Задача 9. Довести, що .
Розв’язання. Доведемо спочатку, що . Множина є декартовим добутком двох множин та , отже, елементи цієї множини – це впорядковані пари. Таким чином, маємо: або та або та або . Це і означає, що .
Тепер покажемо, що . Аналогічно попередньому випадку або та або та .
Розглянемо випадок та . Маємо: та . Якщо та , то маємо: та . Отже, у кожному випадку доведено, що . Таким чином, рівність виконується.
A2
1. Задати множину іншим способом:
a) – корінь рівняння ;
b)
c)
d) , де .
2. Вказати вірні співвідношення:
a) 1 {1, 2, 3}; f) 1 {1, 2, 3}; k) 0 Ø;
b) 1 {{1, 2, 3}}; g) {1} {1, 2, 3}; l) Ø {Ø};
c) {1} {1, 2, 3}; h) {1} {{1, 2, 3}}; m) Ø {1, 2};
d) {1} {{1}, { 2, 3}}; i) {1} {{1, 2}, 3}; n) Ø {Ø};
e) 1 {{1}, { 2}, 3}; j) {1, 2} {1, 2, 3}; o) Ø {1, 2}.
3. Вказати вірні співвідношення:
a) c)
b) d)
4. Нехай – скінченні множини. Вказати вірні твердження:
a) d)
b) e)
c) f) .
6. Нехай – множина всіх парних чисел, – множина всіх чисел, які можуть бути представлені у вигляді суми двох непарних чисел. Довести, що
7. Побудувати булеан множини , тобто множину всіх її підмножин.
8. Яку кількість підмножин містить
a) порожня множина;
b) одноелементна множина;
c) двоелементна множина.
9. Зі скількох елементів складається множина , якщо її булеан містить 32 елементи?
10. Довести, що нескінченна множина має безліч підмножин.
11. Які з даних тверджень справедливі для будь-яких множин
а) і
b) і ?
Відповідь обґрунтувати.
12. Нехай , , . Побудувати .
13. Чи виконується для довільних множин і рівність Відповідь обґрунтувати.
14. Довести закон де Моргана
15. Довести включення .
16. Довести еквівалентності:
a) ;
b) ;
c) .
17. За допомогою діаграм Венна перевірити теоретико-множинну рівність . Довести її двома способами.
18. Довести тотожності, використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин:
a) ;
b) ;
c) .
19. Спростити вираз ( – універсальна множина):
a) ;
b) .
20. Побудувати приклади розбиття та покриття множини .
21. Побудувати , якщо , .
22. Нехай – скінченні множини, причому . Скільки елементів містить множини ?
23. Що можна сказати про множини і , якщо:
a) ; b) .
24. Побудувати , якщо , , .
25. Зобразити на площині такі множини:
a) ; b) .
26. Довести, що для довільних множин виконується .
27. Довести, що для довільних непорожніх множин виконується і .
B2
1. Чи є множиною рівність:
а) ;
b) ;
с) ?
2. З яких елементів складається множина якщо
3. Нехай . Навести декілька вірних співвідношень із знаками належності та включення.
4. Визначити всі можливі співвідношення (рівності, нерівності, включення, строге включення) між такими множинами геометричних фігур:
– множина всіх ромбів;
– множина всіх ромбів, усі кути яких прямі;
– множина всіх квадратів;
– множина прямокутників, усі сторони яких рівні;
– множина всіх прямокутників;
– множина чотирикутників, усі кути яких прямі.
5. Чи існують такі множини та , що і ?
6. Які з наведених тверджень є правильними ( – множини):
a) якщо і то
b) якщо і то
У тих випадках, коли твердження невірне, разом із контрприкладами побудуйте окремі приклади, для яких воно виконується.
7. Для заданої множини побудувати множину всіх підмножин
a) Ø; b) {Ø}; c) .
8. Маючи множини , за допомогою операцій та доповнення записати множини елементів, які
a) належать всім трьом множинам;
b) належать принаймні двом з даних множин;
c) належать хоча б одній з цих множин;
d) не належать будь-яким двом множинам, але належать хоча б одній з них;
e) не належать жодній із множин.
9. Нехай – множина всіх прямокутників, – множина всіх ромбів на площині. З яких елементів складається множина
a) ; b) ; c) ?
10. Нехай Обчислити
a) ; b) ; c)
11. Що можна сказати про множини і , якщо:
а) ; b) ; c) ; | d) ; e) ; f) ; | g) ; h) ; i) . |
12. Довести еквівалентності:
a) і ; b) .
13. Довести один із законів поглинання.
14. За допомогою діаграм Венна перевірити такі рівності:
a) ; b) .
15. Довести тотожності шляхом рівносильних перетворень.
а) ; d) ;
b) ; e) .
c) ;
16. Спростити вирази:
a) ;
b) ;
с) .
17. Чи можна побудувати 10 різних покриттів множини ?
18. Знайти всі розбиття множини .
19. Із вказаних нижче множин підібрати такі їх системи, які задавали б розбиття множини всіх цілих чисел :
;
;
– множина всіх цілих додатних чисел;
– множина всіх цілих від’ємних чисел;
– множина всіх парних чисел;
– множина всіх непарних чисел;
– множина всіх простих чисел;
– множина всіх складених натуральних чисел.
Навести два приклади покриття множини .
20. Побудувати , якщо , , .
21. Побудувати , якщо .
22. Коли в множині є хоча б один елемент з однаковими першою та другою координатами?
23. Довести тотожність , де – непорожні множини.
24. Довести, що для довільних непорожніх множин виконується твердження .
С2
1. Чи існують такі множини , для яких виконувалися б умови:
a) ;
b) .
2. Нехай – довільна множина. Обчислити:
a) ; d) ; g) ;
b) ; e) ; h) ;
c) ; f) ; i) .
3. Обчислити:
a) ; c) ; e) ;
b) ; d) ; f) .
4. Нехай – скінченні множини, , . Обчислити .
5. На фірмі працюють 67 чоловік. З них 47 співробітників володіють англійською мовою, 35 – німецькою, 23 володіють обома мовами. Скільки співробітників фірми не знають жодної іноземної мови?
6. Довести узагальнені закони:
a) ;
b) .
7. Спростити
a) ;
b) .
8. Довести тотожності:
a) ;
b) ;
с) ;
d) .
9. Довести , де – булеани множин та відповідно.
10. Яким повинно бути розбиття скінченної множини на два класи , щоб декартів добуток містив найбільшу кількість елементів?
11. Чи істинними будуть твердження:
a) ; b) ; с) Ø.
Відношення