Задача 1. З’ясувати, чи є алгебраїчними операціями додавання та скалярний добуток двох векторів, заданих на множині векторів площини.
Розв’язання. Додавання двох векторів площини є бінарною операцією, оскільки для довільних векторів можна однозначно побудувати вектор . Скалярний добуток двох векторів площини не є бінарною операцією в множині , бо скалярний добуток є число, а не вектор, і, отже, не є елементом множини .
Задача 2. З’ясувати, чи буде алгебраїчною операцією знаходження спільного дільника натуральних чисел і в множині .
Розв’язання. Для будь-яких натуральних чисел можна знайти їх спільний дільник, але результат цієї дії може бути неоднозначним: числа і можуть мати кілька спільних дільників. Отже, знаходження спільного дільника двох натуральних чисел не є алгебраїчною операцією.
Задача 3. З’ясувати, чи будуть алгебрами структури: a) ; b) . Знайти підалгебри.
Розв’язання. Структура є алгеброю, оскільки множення є алгебраїчною операцією на множині : . Підалгеброю буде структура , оскільки і множина є замкненою відносно операції множення.
|
|
Структура не є алгеброю, оскільки додавання не є алгебраїчною операцією на множині : .
Задача 4. Нехай задано алгебру , носієм якої є множина додатніх дійсних чисел , з бінарною операцією множення, унарною операцією знаходження оберненого елемента і нульарною операцією 1 та алгебру того ж типу . Довести, що відображення є ізоморфізмом.
Розв’язання. Доведемо, що відображення є гомоморфізмом алгебр та . Для кожної з заданих операцій маємо: ; ; . Кожна з цих рівностей вірна для будь-яких за властивістю логарифмів. Доведемо, що відображення є взаємно однозначним. Нехай , але . Тоді
.
Отримали протиріччя. Отже, відображення є ізоморфізмом алгебр та .
Задача 5. Класифікувати алгебри:
a) , де – множина квадратних матриць розмірності ;
b) .
Розв’язання. Алгебра – некомутативний моноїд, оскільки множина квадратних матриць є замкненою відносно множення; множення матриць є асоціативною операцією. Нейтральним елементом є одинична матриця : для довільної матриці виконується рівність . Ця алгебра не є групою, оскільки обернені існують лише для невироджених матриць.
Розглянемо алгебру . Множина є замкненою відносно множення (див. задачу 3), ця операція асоціативна і комутативна, як множення дійсних чисел. Елемент 1 є нейтральним, для кожного елемента існує обернений: . Отже, – абелева група.
A4
1. Чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на: a) ; b) ?
2. Нехай . Вказати алгебраїчні операції та визначити їх властивості, якщо:
a) ; с) ;
|
|
b) ; d) .
3. Нехай . Знайти замикання множин .
4. Скласти таблицю для закону композиції поворотів площини квадрата навколо його центру, при яких квадрат суміщається сам з собою.
5. Побудувати декілька підалгебр алгебри . На прикладах з’ясувати, чи буде підалгеброю та , де – деякі підалгебри.
6. Вказати систему твірних для алгебр: a) ; b) .
7. З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебр та , якщо:
a) ;
b) ;
c) .
8. Класифікувати тип алгебр:
a) ; с) ; e) ;
b) ; d) ; f) .
9. Чи буде абелевою групою алгебра , де .
10. Класифікувати тип алгебр:
a) множина цілих чисел, кратних (), з операціями додавання та множенням;
b) множина квадратних матриць розмірності () з операціями додавання та множення;
c) множина многочленів від однієї змінної скінченного степеня з дійсними коефіцієнтами з операціями додавання та множення;
d) множина раціональних чисел с операціями додавання та множення.
11. З’ясувати тип алгебри, носієм якої є множина і операції додавання та множення задані таким чином:
.
Знайти елементи, які мають обернені відносно множення.
12. Побудувати булеву алгебру на множині .
B4
1. Чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ?
2. З’ясувати, чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на множині , де .
3. З’ясувати, чи будуть алгебрами структури:
a) ; с) .
b) ;
4. З’ясувати, чи будуть асоціативними та комутативними операції, задані на :
a) ; b) ; c) .
5. Вказати систему твірних для алгебри . Чи буде системою твірних множина векторів ?
6. Побудувати декілька підалгебр алгебри . Чи може носієм підалгебри бути скінченна множина?
7. Нехай – булеан . Побудувати дві підалгебри алгебри .
8. З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебр та , якщо:
a) ;
b) ;
c) , де – скінченна множина, – її булеан.
9. Нехай , де – множина квадратних матриць -го порядку (), . З’ясувати, які з відображень є гомоморфізмами, якщо: a) b) c)
10. З’ясувати тип алгебри:
a) ; d) ;
b) ; e) , де
c) ; f) .
11. Чи буде абелевою групою алгебра , де .
12. Скласти таблицю для закону композиції на множині рухів та відображень ромба, які суміщають ромб сам з собою. Побудувати алгебру, визначити її тип.
13. Задати множину підстановок множини . Побудувати алгебру, визначити її тип, виписати всі її підалебри.
14. Класифікувати тип алгебр:
a) множина цілих чисел з операціями додавання та множенням;
b) множина комплексних чисел з операціями додавання та множення.
15. Чи утворює кільце відносно операції додавання та множення множина всіх дробів із знаменником 7?
16. Нехай задана множина матриць виду , де . Визначити тип алгебри .
17. З’ясувати, чи буде булевою алгеброю , де
C4
1. Нехай , де – множина квадратних матриць другого порядку, елементами яких є цілі числа. Нехай
.
Знайти замикання .
2. Нехай , де – множина квадратних матриць другого порядку, елементами яких є цілі числа. Довести, що множина є системою твірних алгебри
3. Нехай задана алгебра , де операція визначена наступним чином Вказати підалгебри , з’ясувати, чи існують під- алгебри з двохелементним носієм. Чи буде алгебра півгрупою?
4. З’ясувати тип алгебри , де – множина векторів у трьохвимірному просторі, а операція – це векторний добуток.
5. Нехай – булеан скінченної множини . З’ясувати тип алгебри:
a) ; с) ;
b) ; d) .
6. Нехай . Задати операцію на множині таким чином, щоб алгебра була:
a) групоїдом; b) півгрупою; c) моноїдом; d) групою.
7. З‘ясувати, чи будуть групами наступні множини функцій з операцією суперпозиції:
a) , де ;
b) , де .
8. Нехай задана множина матриць виду , де , . Визначити тип алгебри .
9. З’ясувати тип алгебри: , де – класи лишків за модулем , і – додавання та множення за модулем відповідно, якщо: a) ; b) .
|
|
Логіка висловлювань