Лабораторная работа № 5

Предел функции.

Опр.1. Число называется пределом функции при , если для любой окрестности числа существует такая проколотая окрестность числа a, что для всех ,

Это определение по Коши. Число может быть как конечным, так и бесконечным. В частности, если числа и а конечны, получаем следующее определение (на языке “ - ”).

Опр.2. Число называется пределом функции при , если для всякого существует такое число >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< < и входящих в область определения функции , справедливо неравенство:

(1)

и обозначается

Если а = + , то получаем следующее определение.

Опр.3. Число называется пределом функции при , если для всякого существует такое число >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству и входящих в область определения функции , справедливо (1) и обозначается:

(определение “ -C”).

Определение предела функции по Гейне: Число А называется пределом функции y= f (x) при (в точке a), если для любой сходящейся к числу а последовательности значений х, входящих в область определения функции и отличных от a, соответствующая последовательность этой функции сходится к числу А.

Пример 1. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что

.

Решение: Рассмотрим любую последовательность , удовлетворяющую двум условиям:

1)

2) .

Этой последовательности соответствует последовательность значений функции:

…

Тогда на основании свойств сходящихся последовательностей (каких?) будем иметь

Т.о. независимо от выбора последовательности , сходящейся к числу 2 , соответствующая последовательность значений функции А это на основании определения предела функции по Гейне значит, что

Замечание 1: Определением предела по Гейне удобно пользоваться тогда, когда доказывается, что функция f (x) не имеет предела. Для этого достаточно показать, что существует две последовательности но соответствующие последовательности имеют неравные пределы.

Пример 2: Доказать, что не существует.

Решение: возьмем

Тогда соответствующие последовательности значений функции таковы:

Следовательно,

, т.е. не существует

Замечание 2: Пример 2 показывает, что вывод о наличии предела функции нельзя делать, исходя из последовательности {x_n} частного вида (например, исходя из x_n^'' =1+ ), а нужно рассматривать произвольную последовательность {x_n }, имеющую заданный

предел а.

Пример 3: Пользуясь " – " определением предела, доказать, что

Решение: Надо доказать, что для "e>0 существует такое d_e >0, что из неравенства 0 < |x-1| < d_e следует, что | f (x)-1| < e, f (x)=4x-3. Зададим

e > 0 и рассмотрим выражение: | f (x)-1|=|4x-3-1|= 4|x-1|.

Если взять d_e ≤ e/4, то для всех х, удовлетворяющих неравенству |x-1| < d_e, будем иметь | f (x)-1| = 4|x-1|<4d_e ≤ 4e/4=e.

Следовательно,

Пример 4: f (x)=1/(x-1) доказать, что

Решение: По определению , если для " М>0 можно подобрать d_М>0, что для всех х¹ а, удовлетворяющих неравенству

0<|x- a |<d, будет выполняться условие >M. В нашем случае по заданному M>0 будем подбирать d_М из условия

| 1/|x-1|>M Ú |x-1|<1/M.

Следовательно, положив d_M=1/М, получим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-1|<d_M, выполняется неравенство M, значит,

ВАРИАНТЫ.

1. Доказать, что предел функции не существует:

2. Доказать с помощью "e-d" определения существования следующих пределов и по заданным e, подобрать d_e: e₁=0,5;e₂=1;e₃=1/100.

3. Доказать, что