2015-10-22
17455
Прикладное значение теоремы о среднем заключается в возможности получения качественной оценки значения определенного интеграла без его вычисления. Формулируем: если функция 
непрерывна на интервале 
, то внутри этого интервала найдется такая точка 
, что 
.
|
и 
.
Эта формула вполне пригодна для прикидочной оценки интеграла от сложной или громоздкой функции. Единственным моментом, который делает формулу приближенной, является необходимость самостоятельного выбора точки 
. Если принять наиболее простой путь – середину интервала интегрирования 
(как предлагается в ряде учебников), то ошибка может быть весьма значительной. Для получения более точного результата рекомендуем провести расчет в следующей последовательности:
- построить график функции на интервале ;
|
|
|
- провести верхнюю границу прямоугольника таким образом, чтобы отсекаемые части графика функции были примерно равны по площади (именно так показано на вышеприведенном рисунке – два криволинейных треугольника практически одинаковы);
- определить из рисунка ;
- воспользоваться теоремой о среднем.
В качестве примера вычислим простой интеграл 
:
- точное значение 
;
- для середины интервала 
получим 
и приближенное значение 
, т.е. явно неточный результат;
- построив график с проведением верхней стороны прямоугольника в соответствии с рекомендациями, получим 
, откуда 
и приближенное значение 
. Вполне удовлетворительный результат, погрешность составляет 0,75%.
Формула трапеций
Точность расчетов с помощью теоремы о среднем существенно зависит, как было показано, от визуального назначения по графику точки . Действительно, выбрав, в том же примере, точки 
или 
, можно получить другие значения интеграла, причем погрешность может и увеличиться. Субъективные факторы, масштаб графика и качество рисования сильно влияют на результат. Это неприемлемо в ответственных расчетах, поэтому теорема о среднем применяется только для быстрой качественной оценки интеграла.
В этом разделе рассмотрим один из самых популярных способов приближенного интегрирования – формулу трапеций. Основная идея построения этой формулы исходит из того, что кривую можно приближенно заменить ломаной линией, как показано на рисунке.
|
|
|
|
Примем, для определенности (и в соответствии с рисунком), что интервал интегрирования разбит на 
равные (это необязательно, но очень удобно) части. Длина каждой из этих частей вычисляется по формуле 
и называется шагом. Абсциссы точек разбиения, если задано 
, определятся по формуле 
, где 
. По известным абсциссам легко вычислить ординаты 
. Таким образом,
.
Это и есть формула трапеций для случая . Отметим, что первое слагаемое в скобках является полусуммой начальной и конечной ординат, к которой прибавляются все промежуточные ординаты. Для произвольного числа 
разбиений интервала интегрирования общая формула трапеций имеет вид:
.
Точность формулы трапеций зависит от принимаемого (самостоятельно) числа разбиений . Хотя в учебной литературе приводятся способы оценки погрешности этой формулы, на практике удобно произвести два расчета (в ответственных задачах) при разных значениях . На пример, при 
и 
. Если результаты близки, то расчет заканчивается, иначе рекомендуется повторить вычисления при 
или 
. Расчеты удобно производить в табличной форме или на компьютере.
Отметим, что имеется большой ряд и других способов численного интегрирования или, иначе, квадратурных формул: прямоугольников, Симпсона, Гаусса и т.д. Они строятся на той же идее представления криволинейной трапеции элементарными площадями различной формы, поэтому, после освоения формулы трапеций, разобраться в аналогичных формулах не составит особого труда. Многие формулы не так просты, как формула трапеций, но позволяют получить результат высокой точности при малом числе разбиений .
С помощью формулы трапеций (или аналогичных) можно вычислять, с нужной на практике точностью, как "неберущиеся" интегралы, так и интегралы от сложных или громоздких функций.
