Вновь предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<p<1). Как вычислить вероятность P (k ,k ) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k и не более k раз (для краткости будем говорить «от k до k раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже.
Интегральная теорема Лапласа.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P (k , k ) того, что событие А появится в n испытаниях от k до k раз, приближенно равна определенному интегралу:
,
где и .
При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл , не выражается через элементарные функции. Таблица для функции Φ(х) = приведена в приложении 2. В таблице даны значения функции Ф(х) для неотрицательных значений х; для х<0 пользуются той же таблицей, так как Ф(х) – функция нечетная: Ф(–х) = – Ф(х). В таблице приведены значения функции лишь до х = 5, так как для x>5 можно принять Ф(х) = 0,5. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа.
|
|
Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100.
Решение. По условию р = 0,2; q=0,8; n= 400; k =70; k =100.
Вычислим верхний и нижний пределы интегрирования:
.
Таким образом, получаем:
P (70; 100) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф (2,5) + Ф(1,25),
так как Ф(–1,25) = –Ф (1,25).
По таблице приложения 2 находим:
Φ(2,5) = 0,4938, Φ(1,25) = 0,3944.
Искомая вероятность: P (70; 100) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.