Полезность и предпочтение

Методологическую основу теории полезности (теории рационального поведения), разработанной Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном, составляют следующие предположения. Экономическое сообщество, в условиях которого действуют участники экономики обмена, состоит из предпринимателей и потребителей. Предприниматель стремиться к получению максимальной прибыли, а потребитель – к получению максимума ²полезности² или ²удовлетворения². В отличие от понятия прибыль, полезность и удовлетворение являются такими понятиями, что их нелегко определить количественно. Полезность может выражаться не в деньгах (или вообще в вещественных числах), а в виде повышения престижа, увеличения возможности влияния и т.д.

Для описания поведения предпринимателей и потребителей с единых позиций, Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн предположили, что объектом деятельности участников экономики общественного обмена является некоторый неограниченно делимый и свободно перераспределяемый товар, тождественный с любым удовлетворением или полезностью.

Измерение полезности должно основываться на некотором непосредственном ощущении предпочтения одного объекта или события над другим. Предполагается полнота системы индивидуальных предпочтений, то есть лицо, принимающее решение (ЛПР), может указать, какую из любых двух альтернатив он предпочитает, или сказать, что обе альтернативы для него равнозначны. Предполагается также, что ЛПР может сравнивать не только события, но и комбинации событий с заданными вероятностями.

Одним из основных понятий теории предпочтений является бинарное отношение.

Транзитивное, рефлексивное и симметричное бинарное отношение называется отношением эквивалентности. Отношение эквивалентности можно использовать для разбиения множества альтернатив на классы эквивалентности.

Бинарное отношение P можно задать в виде квадратной матрицы M(P) порядка n (матрица отношения P), элементы которой определены следующим образом

=1 Û P , =0 Û ù ( P ).

Наиболее наглядным способом представления бинарного отношения на множестве альтернатив A является ориентированный граф G(P) (граф отношения P), вершины которого соответствуют альтернативам, а дуги – упорядоченным парам альтернатив (, )ÎP. Матрица M(P) бинарного отношения P есть матрица смежности орграфа G(P). Свойства бинарного отношения отражаются на структуре соответствующего графа [5]:

- в графе рефлексивного отношения при каждой вершине имеется петля;

- в графе симметричного отношения между любыми смежными вершинами

- имеются две противоположно ориентированные дуги;

- в графе транзитивного отношения каждый путь (, ,…, ) замкнут дугой (, );

- в графе антисимметричного в строгом смысле отношения нет петель, и каждая пара смежных вершин соединена одной дугой;

- дополнительный к G(P) граф есть граф бинарного отношения (A´A)\P.

Матрица этого отношения приведена на рис. Используя граф G(P), нетрудно проверить, что бинарное отношение является рефлексивным, асимметричным, транзитивным и связным.

Рис. 1. Графическая иллюстрация множества альтернатив	Рис. 2. Граф бинарного отношения

(a) (b)

Рис. 3. Матрицы бинарных отношений

В качестве основного (базового) бинарного отношения в теории полезности используется либо отношение нестрогого предпочтения R либо отношение (строгого) предпочтения P. Выбор основного отношения зависит от личного вкуса исследователя.

Функция выбора

Для выбора наилучшей относительно предпочтений ЛПР альтернативы из множества A, это множество нужно упорядочить [6].

Транзитивное, рефлексивное и антисимметричное в широком смысле бинарное отношение называется отношением порядка. Транзитивное и антисимметричное в строгом смысле бинарное отношение называется отношением строгого порядка. Каждому отношению P строгого порядка на множестве A={ ,… } соответствует одно и только одно отношение порядка P . Бинарное отношение порядка, обладающее свойством

P либо P для всех , ÎA,

называется отношением совершенного порядка

Если (, )ÎP и P есть отношение порядка, то говорят, что альтернативы и сравнимы. Множество A, на котором задано бинарное отношение порядка P называется упорядоченным. Упорядоченное множество, в котором не все элементы сравнимы, называется частично упорядоченным. Элемент упорядоченного множества A называется максимальным, если нет такого элемента ÎA, ¹ что P . Элемент упорядоченного множества A называется наибольшим, если P для всех ÎA, ¹ . Заметим, что наибольший элемент, если он существует, является единственным. Аналогично определяются минимальный и наименьший элементы упорядоченного множества, а также аналогичные понятия для отношения строгого порядка.

Если граф бинарного отношения P не содержит контуров, то множество его вершин можно разбить на подмножества (уровни) и пронумеровать уровни так, что если вершина принадлежит уровню k, то следующая за ней вершина принадлежит уровню с номером большим k. Другими словами, отношение P упорядочивает подмножества альтернатив из A.

При любом способе упорядочения множества A необходима транзитивность отношения предпочтения PÍA´A. Несмотря на очевидную разумность предположения о транзитивности, имеются многочисленные примеры нетранзитивных предпочтений. Нетранзитивность обычно возникает в случаях, когда альтернативы включают несколько характерных признаков или критериев.

		(1) (2) (3)
Рис. 1. Граф бинарного отношения.		Рис. 2. Разбиение вершин графа на уровни.

Для того чтобы отношения предпочтения упорядочивали множество альтернатив, они должны иметь некоторые свойства, сформулированные в [1] как аксиомы, являющиеся формализацией интуитивного представления о рациональном поведении индивидуума (аксиомы полезности или аксиомы рационального поведения).

Аксиома 1 (трихотомический закон Неймана-Моргенштерна).

Для любых двух альтернатив , ÎA должно выполняться одно и только одно из отношений P , P или I .

Аксиома 2 (рефлексивность отношения безразличия).

Для всех ÎA должно выполняться I .

Аксиома 3 (симметричность отношения безразличия).

Если I , то I .

Аксиома 4 (транзитивность отношения безразличия).

Если I и I , то I .

Аксиома 5 (транзитивность отношения предпочтения).

Если P и P , то P .

Аксиома 6 (транзитивность P относительно I).

Если P и I , то P .

Если I и P , то P .

Аксиомы 2-4 означают, что отношение безразличия I является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности совпадают с подмножествами альтернатив, имеющих одинаковую полезность (классы безразличия, контуры равной полезности). Все аксиомы вместе задают строгое упорядочение альтернатив от наиболее предпочтительных до наименее предпочтительных.

Функция полезности

Бинарные отношения и функция выбора не всегда удобны для моделирования экономических систем и анализа этих моделей. Гораздо чаще используется функция, которая в числовой форме выражает предпочтения лица, принимающего решение. В микроэкономике это понятие используется для объяснения поведения предпринимателей и потребителей, в макроэкономике предпочтения рассматриваются с точки зрения государственных интересов.

Функции u и v являются порядковыми функциями полезности для отношения P на A, несмотря на то, что в первом случае полезность альтернативы равна 999, а во втором – только 1.

Каким же условиям должно удовлетворять отношение предпочтения P, чтобы вместо него можно было рассматривать функцию полезности? Этот вопрос до сих пор является предметом дискуссий. Дело в том, что дополнительные требования к отношению предпочтения вводятся аксиоматически и обоснованность той или иной системы аксиом не является бесспорной.

Если множество A состоит из детерминированных исходов, то для существования функции полезности достаточно выполнения аксиом 1- 6. Однако, эксперт (инвестор, ЛПР), поставленный перед проблемой выбора, не всегда с полной определенностью знает последствия этого выбора. Например, полезность покупки может оказаться меньше (или больше) ожидаемой из-за изменений условий ее использования. Кроме того, результаты некоторых действий всегда имеют случайный характер (ситуации с элементами риска). Рисковые ситуации часто возникают в банковской сфере, на финансовых рынках, в инновационной и предпринимательской деятельности промышленных предприятий и т.д. Дж. фон Нейман и О.Моргенштерн предположили, что потребитель в случайных ситуациях ведет себя рационально, то есть из многочисленных альтернатив он выбирает ту, которая дает наибольшую ожидаемую полезность. Вероятности возможных исходов должны быть известны.

Простой лотереей (или лотереей) L=(p,x;(1- p),y) называется случайное событие с двумя возможными исходами x и y, вероятности которых равны p и (1-p), 0≤ p≤1. На рисунке дана графическая иллюстрация случайного события z, являющегося лотереей L=(p,x;(1- p),y). Аналогично определяется лотерея с тремя и большим числом возможных исходов. Теория полезности предполагает, что для каждой пары лотерей лицо, принимающее решение, может определить, какая лотерея для него предпочтительней. Отношения предпочтения на множестве лотерей аналогичны бинарным отношениям R, P и I на множестве альтернатив A. Детерминированное событие можно рассматривать как частный случай лотереи.

Рисунок. Лотерея с двумя исходами

Для измерения ожидаемой полезности уже не достаточно выбирать шкалы, согласованные друг с другом только в отношении порядка.

Аксиома 8 (независимость).

Из P и 0<p<1 следует (p, ;(1-p), ) P (p, ;(1-p), ),

для любого ÎA.

Аксиома 9 (правила комбинирования).

.

Лотереи, отличающиеся процедурой их осуществления, эквивалентны, если конечные результаты и вероятности этих результатов равны.

Аксиома 10 (непрерывность).

Из P , P , P следует существование такого pÎ(0,1), что

(p, ;(1- p), ) P .

Можно выбрать такую вероятность p, что лотерея, состоящая в случайном выборе между ²наилучшей² альтернативой и ²наихудшей² альтернативой будет предпочтительней, чем ²промежуточная² альтернатива .

Вскоре после появления теории Неймана-Моргенштерна были получены экспериментальные данные о том, что предпочтения человека не всегда соответствуют нормам рационального поведения, т. е. опровергают аксиомы теории полезности, а следовательно и существование линейной функции полезности.