Определение1: Производной функции f(x) в точке х0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции ∆ f в этой точке к приращению аргумента ∆ х, когда последнее стремится к нулю:
Обозначается или
Нахождение производной функции называется дифференцированием.
Определение2: Дифференциалом функции f(x) называется произведение производной этой функции на произвольное приращение аргумента.
Обозначается или , где .
Основные правила дифференцирования
1. Производная постоянной
Символьная формулировка:
Словесная формулировка: производная постоянной равна нулю.
2. Производная алгебраической суммы функций
Символьная формулировка:
Словесная формулировка: производная алгебраической суммы функций равна сумме производных этих функций.
3. Производная произведения двух функций
Символьная формулировка
Словесная формулировка: производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.
|
|
4. Производная произведения постоянной на функцию:
Символьная формулировка
Словесная формулировка: Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
5. Производная частного двух функций:
Символьная формулировка:
6. Производная сложной функции:
Пусть y есть функция от u: а переменная u, в свою очередь, есть функция от аргумента х: т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции):
Символьная формулировка:
Словесная формулировка: Производная сложной функции равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х:
Таблица производных элементарных функций
Функция у | Производная |
С | |
х | |
для сложной функции: | где n – любое действительное число |
для сложной функции: | |
для сложной функции: | |
для сложной функции: | |
для сложной функции: | |
для сложной функции: | |
Функция у | Производная |
для сложной функции: | |
для сложной функции: | |
для сложной функции: | |
для сложной функции: |