2.1 Задача № 1
Дано: А = {10; 4; 3; 1; 2; 6}, В = {1; 2; 5; 6; 8}, С = {3; 8; 10}, D = {1; 3; 5; 7; 10}.
Найти: а) A∩D; б) B \ D; в) С В; г) (А∩В) (D \ С).
Решение:
а) A∩D = {10; 4; 3; 1; 2; 6} ∩ {1; 3; 5; 7; 10} = {1; 3; 10}, так как это общие элементы данных множеств;
б) B \ D = {1; 2; 5; 6; 8} \ {1; 3; 5; 7; 10} = {2; 6; 8}, так как это те элементы множества В, которые не принадлежат множеству D;
в) С В = {3; 8; 10} {1; 2; 5; 6; 8} = {1; 2; 3; 5; 6; 8; 10}, так как это элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств;
г) (А∩В) (D \ С) = ({10; 4; 3; 1; 2; 6}∩{1; 2; 5; 6; 8}) ({1; 3; 5; 7; 10} \ {3; 8; 10}) = {1; 2; 6} {1; 5; 7} = {1; 2; 5; 6; 7}.
Задача № 2
Составить таблицу истинности для формулы: .
Решение:
Данная формула содержит 3 различные переменные и 4 символа логических операций. Число строк в таблице – 23 + 1 = 8 + 1 = 9. Число столбцов – 3 + 4 = 7.
Определим порядок выполнения операций: 1) отрицание ; 2) отрицание ; 3) дизъюнкция и 4) эквиваленция . Нарисуем таблицу и заполним строку заголовка, начиная с элементарных формул:
А | В | С | ||||
Задача № 3
|
|
Результаты измерения величин x и y даны в таблице:
x | - 2 | ||||
y | 0,5 | 1,5 |
Предполагая, что между x и y существует линейная зависимость y = ax + b, способом наименьших квадратов определить коэффициенты a и b.
Решение:
Составим расчётную таблицу.
xi | yi | xi2 | xiyi |
- 2 | 0,5 | - 1 | |
1,5 | 1,5 | ||
По условию n = 5. Нормальная система (2) принимает вид:
Решим эту систему методом Крамера.
Δ – определитель второго порядка, который равен разности произведений чисел стоящих на главной диагонали (диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол) и произведения чисел, стоящих на второй диагонали.
Δ – определитель системы, т.е. определитель составленный из коэффициентов при переменных в каждом уравнении системы
Δa – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов при переменной a на столбец свободных слагаемых.
Δb – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов при переменной b на столбец свободных слагаемых.
Для нашей системы получаем:
Получаем: y = 0,425x + 1,175
Ответ: y = 0,425x + 1,175
Задача № 4
В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и по одной задаче. Всего составлено 28 билетов.
Вычислить вероятность того, что, вынув наудачу билет, студент ответит на все вопросы, если он подготовил 50 теоретических вопросов и 22 задачи.
|
|
Решение:
Полный ответ на билет состоит из произведения двух событий: студент одновременно ответит на два вопроса (событие А) и решит задачу (событие В).
Число всех возможных комбинаций из 56 вопросов по два составляет .
Так как студент подготовил только 50 вопросов, то число благоприятных исходов равно
. Р(А)= .
Вероятность события В определяется тем, что студент знает 22 задачи из 28 возможных Р(В) = = .
Р(А·В)=Р(А)·Р(В) = ∙ =0,625.