Традиционные позиционные системы счисления

Название каждой такой системы, образовано от названия ее основания. N цифр в алфавите p- ичной системы равно основанию системы.

1. Основанием позиционной системы счисления может быть любое число p ≥ 2. Алфавитом служат числа от 0 до р – 1, каждая из которых может быть записана с помощью одного уникального символа.

2. Если основание р < 10, то в качестве алфавита удобно использовать первые 10 арабских цифр.

3. Если 10 <р<36, то в начале первых 10 цифр – арабские цифры, а остальные – 26 латинских букв.

4. р>36, единых правил для записи цифр не существует.

Для различения чисел записанных в позиционной системе счисления с различными основаниями, после записи числа в виде нижнего индекса ставят значение основания.

Существует двоичные, троичные и т.д. системы. Название каждой системы образовано от названия её основания. Количество цифр в алфавите p-ичной системы равно основанию CC.

В р-ичной системе счисления единым разрядом служат степени числа р. Для записи чисел в этой системе счисления необходимо р чисел. В общем виде любое вещественное число в позиционной системе счисления с основание р можно представить следующим образом. х = а_npⁿ + a_n-1p^n-1 +…+ a₂p² + a₁p¹ + a₀ +b_-1p^-1 + b_-2p^-2 + …+ b_-k p^-k – развернутая запись числа,

где 0 < a_i < p, i = 0,1,2… 0≤ b_i < p_i, i = -1,-2…

Любое число в p-ичной СС можно записать в виде последовательности перечислений его цифр, начиная со старшей. Целая часть от дробной отделяется запятой.

- свернутая запись числа.

46,46 = 4∙10¹ + 6∙10⁰ + 4∙10^-1 + 6∙10^-2

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Десятичная позиционная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд имеет вес, равный степени 10.

1. Перевод целой части. Для перевода целого числа N представленного в системе счисления с основанием р в систему счисления с основанием q, необходимо данное число делить на основание q (по правилам в системе счисления с основанием р), до получения целого остатка меньшего q. Полученное частное снова необходимо разделить на основание q до получения целого остатка меньшего q и т.д. до тех пор, пока последнее частное не будет меньше q. Число N в системе счисления с основанием q представится в виде остатков деления в порядке обратно их получению. Старшую цифру числа N дает последнее частное.

45₁₀→10110₂→1200₃→55₈→2D₁₆

2. Перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q. Последовательно умножаем исходную дробь на основание q (по правилам в СС с основанием p), причем перемножению подвергаются только дробные части. Дробь N в СС с основанием q представится в виде последовательности целых частей произведений в порядке их получения. Умножение производим до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. Затем составляем дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

3. Правило перевода неправильной дроби. Целая и дробная часть переводятся отдельно по правилам 1 и 2.

Преобразование по схеме Горнера:

Пример 1: 1. Целая часть: 2143₅=(((5*2+1)5+4)5)+3=298₁₀

2. Дробная часть: 0,1101₂=(((1/2+0)1/2+1)1/2+1)1/2=13/16=0,8125₁₀

Пример 2: 1. Целая часть: F2C₁₆=15*16²+2*16¹+12*16⁰=3884₁₀

2. Дробная часть:0,1011₂=1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3+1*2^-4=0,6875₁₀