Поворот осей координат

Параллельный перенос кривой второго порядка

Иногда начало координат смещается без поворота, к примеру, на c единиц по оси X и d единиц по оси Y. Тогда связь между старыми координатами (x; y) и новыми координатами (x ₁; y ₁) задаётся формулами:

и

К примеру, если новое начало координат было смещено на 1 по оси ОХ и на 2 по оси OY (с = 1; d = 2), то для эллипса, заданного уравнением в исходной системе координат, его уравнение в новой системе станет .

Если имел место только параллельный перенос канонического вида кривой второго порядка, то достаточно представить имеющуюся формулу кривой в каноническом виде с учётом указанных формул перехода к новой системе координат.

Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение определить вид соответствующей кривой.

Преобразуем уравнение

Отсюда видно, что исходная кривая задаёт эллипс.

 

Поворот осей координат

При повороте осей координат на угол a против часовой стрелки начало координат не меняется, а связь между старыми координатами (x; y) и новыми координатами (x ₁; y ₁) задаётся формулами:

и

Эти формулы используются при приведении уравнения кривой второго порядка к каноническому виду в более общем случае (при наличии поворота).

Пример. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка определить её вид.

Наличие поворота кривой относительно её центра симметрии отражается наличием в формуле кривой ненулевого множителя при члене xy. Поэтому сначала найдём угол a, на который необходимо повернуть исходную кривую, чтобы множитель при члене xy стал равным 0, а затем уже известным нам способом избавимся от множителей при x и y.

Произведём замены при повороте на угол a по формулам

Множитель при x ₁ y ₁ приравняем нулю:

Если то из полученного уравнения что противоречит тождеству Поэтому и можно поделить обе части уравнения на

. Отсюда

Пусть Тогда

Тогда

Выделим из каждой переменной полный квадрат

Если ввести обозначения , то

- каноническое уравнение эллипса.