Интерполирование по Эйткину

Вычисление значения функции в точке, отличной от узлов интерполяции, начинается с вовлечения в счет двух узлов интерполяции с последующим включением в схему новых узлов интерполяции.

Пусть некоторый интерполяционный многочлен F (x) степени n принимает в узлах интерполяции х ₀, х ₁, …, х_n значения

 

 

; ; …; .

 

 

Воспользовавшись формулой Лагранжа для случая линейной интерполяции, на отрезке [ x ₀, x ₁] интерполяционное значение функции можно вычислить по формуле

 

, (8.1)

 

на отрезке [ x ₁, x ₂]

 

, (8.2)

 

 

и, наконец, на отрезке [ x ₀, x ₂] по формуле

 

. (8.3)

 

Далее заменим у ₀ и у ₂ в формуле (8.3) соответственно на F _{0, 1}(x) и F _{1, 2}(x).

 

Получим следующее выражение

 

,

 

или

.

 

Интерполяция и приближение сплайном

 

Для определенности будем говорить о приближении функции f (x) на [0,1]. Разобьем отрезок на части

 

 

 

 

и обозначим это разбиение через .

Назовем «сплайном» порядка m функцию, являющуюся многочленом степени m на каждом из отрезков , т.е.

 

,

 

при х_{n- 1}£ x £ x_n удовлетворяющую условиям непрерывности производных до порядка m – 1 в точках х ₁, …, x_{n- 1:}

 

 

(8.5)

при .

Всего имеется в распоряжении неизвестных коэффициентов а_nm, и соотношения (8.5) образуют систему из линейных алгебраических уравнений.

Другие уравнения для коэффициентов получают из условия близости сплайна к приближаемой функции и из некоторых дополнительных условий.