Пусть m = 1.
Тогда общее число Q свободных параметров равно 2 N.
Поставим вопрос о построении сплайна совпадающего с функцией f (x) в точках x 0, x 1 ,…, xn.
Получим систему уравнений
Эта система распадается на системы уравнений относительно коэффициентов отдельных многочленов
,
отсюда находим
Многочлен Pn 1(x) является многократно рассматривавшимся интерполяционным многочленом первой степени с узлами интерполяции xn- 1, xn.
Широкое распространение сплайнов во многом вызвано тем, что они являются в определенном смысле наиболее гладкими функциями среди функций, принимающих заданные значения. Сплайны степени выше первой в случае гладкой f (x) хорошо приближают не только саму функцию, но и ее производные.
ЛЕКЦИЯ 9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Известно, что не для всякой функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно и применяются различные методы приближенного вычисления определенных интегралов. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, рассмотрим три приближенных формулы, с помощью которых численное интегрирование проводится с любой степенью точности.
|
|
Постановка задачи
Пусть на отрезке [ a,b ] задана непрерывная функция y = f(x). Требуется вычислить приближенное значение определенного интеграла
(9.1)
Если f(x) ≥ 0 при a ≤ х ≤ b, то интервал будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), прямыми х = a, х = b и осью Ох (рис.9.1).
Воспользуемся этой интерпретацией определенного интеграла.
Разобьем отрезок [ a,b ] точками a = х 0, х 1,..., хn = b на n равных частей длины , так что xi = a + ih, .
Величина h называется шагом интегрирования. Обозначим через у 0, у 1, …, уn значения функции y = f(x) в точках х 0 , х 1 ...., хn соответственно, то есть yi = f(xi), .