(6)
Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например, или , или .
– это все подынтегральное выражение, часть которого мы обозначаем за , а часть за . При этом:
1) за принимается функция, которая дифференцированием упрощается.
2) за – та часть, интеграл от которой известен или легко может быть взят.
3) в состав обязательно входит .
В итоге верного выбора и интеграл в (20) должен быть проще исходного.
Пример.
.
Замечание. Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз.
Замечание. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла , , если
, то получаем уравнение: , откуда
или .
Пример. – решить методом по частям, используя примечание. При верном решении должен получиться ответ:
.
Только по частям берутся интегралы:
а) , многочлен -ой степени,
, в частности одночлен
, ,
б) , ,
,
, ,
в) , , ,
, или .
Интегралы типа (в) интегрируются дважды по частям.
|
|
Пример.
.
Рассмотрим отдельные классы функций и способы их интегрирования.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ