Тема 3–4. Векторная алгебра. Уравнение прямой

Контрольная работа

по дисциплине: Математика

по теме: Вариант№7

 

 

Исполнитель: Стяжков А.И

Направление ГМУ

 

Группа ГМУ с 17-ТД
Преподаватель:

Шитиков С.А

 

Екатеринбург
2017

 

Контрольная работа 1(1 семестр)-вариант 7

Тема 1. Матрицы и определители

1.1. Вычислить определитель.

7.

Решение

Поменяем строки местами

= -

Умножим 1 строку на -4 и прибавим ко 2 строке

- = -

Поменяем строки местами

- =

Умножим 2 строку на -12 и прибавим к 3 строке; на -3 и прибавим к 4 строке

=

Поменяем строки. Умножим 3 строку на 3 и прибавим к 4 строке

= - =
= -

 

 

1.2. Найти обратную матрицу для матрицыА и сделать проверку.

7.

Решение

Определитель матрицы

∆= 3•(-4•0-3•(-7))-1•(12•0-3•0)+2•(12•(-7)-(-4•0))=-105;

Найдем алгебраические дополнения

Транспонированная матрица:

A1,1=(-1)1+1

-4   -7

=(-4•0-(-7•3))=21

A1,2=(-1)1+2

=-(12•0-0•3)=0

A1,3=(-1)1+3

-4   -7

=(12•(-7)-0•(-4))=-84

A2,1=(-1)2+1

-7

=-(1•0-(-7•2))=-14

A2,2=(-1)2+2

=(3•0-0•2)=0

A2,3=(-1)2+3

-7

=-(3•(-7)-0•1)=21

A3,1=(-1)3+1

-4

=(1•3-(-4•2))=11

A3,2=(-1)3+2

=-(3•3-12•2)=15

A3,3=(-1)3+3

-4

=(3•(-4)-12•1)=-24
Обратная матрица

Проверка

 

 

-84 -14         -24

 

 

Тема 2. Системы линейных уравнений

Решить систему уравнений тремя способами: методом обратной матрицы, методом Гаусса или методом Жордана–Гаусса.

7.

Решение

Матрица коэффициентов

А) метод Жордано-Гаусса

Вычтем 2 строку из 1 строки и 3 строки

Умножим 1 строку на -2 и прибавим ко 2 строке

Умножим 3 строку на 3 и прибавим ко 2 строке

Умножим 2 строку на 2 и прибавим к 3 строке

Разделим 3 строку на 5

Умножим 3 строку на -2 и прибавим к 1 и 2 строкам

Умножим 2 строку на 2 и прибавим к 1 строке

Решение: (3,1,-2).

 

Б) матричный метод

Найдем обратную матрицу

Определитель матрицы

∆= 3•(3•4-1•3)-2•(1•4-1•5)+2•(1•3-3•5)=5

Вычисляем алгебраические дополнения.

A1,1=(-1)1+1

=(3•4-3•1)=9

A1,2=(-1)1+2

=-(1•4-5•1)=1

A1,3=(-1)1+3

=(1•3-5•3)=-12

A2,1=(-1)2+1

=-(2•4-3•2)=-2

A2,2=(-1)2+2

=(3•4-5•2)=2

A2,3=(-1)2+3

=-(3•3-5•2)=1

A3,1=(-1)3+1

=(2•1-3•2)=-4

A3,2=(-1)3+2

=-(3•1-1•2)=-1

A3,3=(-1)3+3

=(3•3-1•2)=7

Обратная матрица

Решение системы

 

Тема 3–4. Векторная алгебра. Уравнение прямой

По координатам вершин треугольника ABC найти: периметр треугольника;уравнения сторон AB и BC; уравнение высоты AD; угол ABC;площадь треугольника.Сделать чертеж.

7. А(–1; 4) В(–1; 2); С(–7; 3).

Решение

периметр треугольника;

периметр:

 

уравнения сторон AB и BC;

Уравнение прямой

Уравнение АВ

x +1 = 0

x = -1

 

Уравнение ВС

y = ^-1/₆x + ¹¹/₆

 

 

уравнение высоты AD;

Уравнение ВС

y = ^-1/₆x + ¹¹/₆

Тогда уравнение высоты к ВС:

У=-6х+в

Подставим координаты точки А:

4=-6(-1)+в, отсюда в=4-6=-2; и уравнение высоты:

У=-6х-2.

 

угол ABC;

Уравнение прямойAB:x +1 = 0

Уравнение прямойBC:y = ^-1/₆x + ¹¹/₆

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле:

По формуле находим:

 

площадь треугольника.