Тема 4. Уравнение плоскости

Даны точки М₁ и М₂.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ш₁ перпендикулярно вектору

Найти отрезки, отсекаемые данной плоскостью на осях координат. Начертить эту плоскость.

7. М₁(3; 2; –2); М₂(5; 1; 2).

Решение

Найдем вектор нормали плоскости

Уравнение плоскости:

Отрезки, отсекаемые на осях:

 

 

 

Тема 5. Линии второго порядка

По заданному уравнению гиперболы найти: координаты вершин, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнение асимптот. Сделать чертеж.

7. 4x² – 5y² – 100=0.

Решение

- Полуоси гиперболы.

Координаты вершин: (5,0) и (-5,0).

Уравнения асимптот:

Координаты фокусов: (-

Эксцентриситет

 

 

Тема 6. Пределы функций

Вычислить пределы.

7. а)

Решение

 

б)

Решение

Воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых величин

 

 

в)

Решение

Воспользуемся вторым замечательным пределом

 

Тема 7. Основы дифференцирования

Найти производную сложной функции.

7.

Решение

 

Тема 8. Исследование функций

Исследовать функцию и построить ее график.

7.

Решение

1. Область определения

2. Четность

Функция четная

3. Асимптоты

В точках разрыва:

Значит, х=-2 вертикальная асимптота

Значит, х= 2 вертикальная асимптота

 

Наклонная асимптота

Значит, у=0 – горизонтальная асимптота

 

4. Монотонность функции

- Критические точки. Определим знак производной

Значит, функция возрастает при х меньше -2, при х от -2 до 0; функция убывает при х от 0 до 2, и при х больше 2.

Х=0 – локальный минимум.

5. Выпуклость

- точки перегиба. Определим знак второй производной

Функция вогнута при х меньше -2 и при х больше 2; функция выпукла при х от -2 до 2.

 

6. Построим график