Определение 5.2. Второй замечательный предел – это предел вида
Данный предел часто используют при вычислении пределов выражений, в которых показатель степени стремится к бесконечности, а основание, за счет бесконечно малого второго слагаемого, стремится к единице, т.е. когда имеетместо неопределенность вида .
Примеры 5.2. Вычислить пределы:
1) (второй замечательный предел).
2) .
Решение: Умножим и поделим показатель степени на 2, чтобы образовать второй замечательный предел:
.
3) .
Решение: Умножим и поделим показатель степени на -6, чтобы образовать второй замечательный предел:
.
4) .
Решение: Умножим и поделим показатель степени на , чтобы образовать второй замечательный предел:
В последних равенствах воспользовались соответствующей теоремой о предельном переходе и тем, что .
5) .
Решение: Так как и , то имеем неопределенность . Для того чтобы привести ко второму замечательному пределу, преобразуем функцию под знаком предела:
В последних равенствах воспользовались соответствующей теоремой о предельном переходе и тем, что .
|
|
6) .
Решение: При показатель степени стремится к бесконечности, а второе слагаемое суммы в скобках стремится к нулю, т.е. имеем неопределенность . Для ее раскрытия сделаем замену переменных:
.
7) .
Решение: Так как , а , то имеем неопределенность . Для того чтобы привести ко второму замечательному пределу, преобразуем функцию под знаком предела к соответствующему виду, после чего сделаем замену переменных:
Замечание 5.2. При вычислении пределов также полезно использовать следующие следствияиз второго замечательного предела (здесь – постоянные числа):
1. . | 2. . | 3. . |
4. . | 5. . |