,
где – определитель матрицы, полученной из расширенной матрицы системы вычеркиванием i -го столбца. Тогда
.
Поскольку , можно написать
,
откуда, сравнивая с , делаем вывод, что () удовлетворяют j -му уравнению системы. Поскольку выражения для не зависят от j, то они удовлетворяют всем уравнениям системы. Тем самым существование решения доказано. Учитывая, что , получаем нужный вид для формул Крамера:
.
Осталось доказать единственность полученного решения. Предположим, есть два решения и . Подставим эти решения в систему: и . Тогда
,
поскольку существование обратной матрицы гарантируется ненулевым определителем матрицы А. ■
Также системы линейных уравнений (j =1,2,…, m) с квадратной матрицей, определитель которой неравен нулю, можно решать с помощью нахождения обратной матрицы, или другими словами, решая матричное уравнение . Поскольку , обратная матрица существует. Поэтому – решение системы.