Определение производной
Пусть y=f(x) определена в некотором промежутке. Пусть аргумент x получил приращение Dx. Тогда функция получит некоторое приращение Dy:
x Þ f(x)
x+Dx Þ y+Dy=f(x+Dx) Þ Dy=f(x+Dx) - f(x)
Составим отношение
Если существует, то его называют производной функции f(x):
Определение: Производной функции f(x) по аргументу x называется предел отношения Dy к приращению Dх, когда последнее произвольным образом стремится к нулю (®0).
В общем случае для " x имеет определенной значение, т.е. производная также является функцией от x. Наряду с обозначением f¢(x) употребляется:
Конкретное значение f¢(x) при x=a:
или
Операция взятия производной от f (x) называется дифференцированием f (x).
Пример: y=x2, x+Dх Þ y+Dy=(x+Dх)2, ÞDy=2xDх+Dх2
y=1/x …
Геометрический смысл производной
Выше мы установили, что скорость является производной от пути S(t) по времени t. Теперь – геометрической толкование. В первую очередь введем понятие касательной к кривой в данной точке.
Пусть имеется некоторая кривая y=f(x). Возьмем на ней фиксированную точку М0 (x0,y0=f(x0)) и точку М1 Î y=f(x). Тогда М0М1 - прямая, которая называется секущей. Пусть теперь М1 ® М0, но всегда М1 Î y. Если при неограниченном приближении М1 к М0 секущая М0М1 стремиться занять положение М0T, то М0T - называется касательной к y в точке М0.
|
|
Итак, пусть М0=( x 0,y0), а М1=( x 0+Dx,y0+Dy) и пусть - угол между М0М1 и ОХ. Тогда
Если Dx®0 Þ М0 ® М1, М0М1 будет поворачиваться вокруг М0 (т.к. она «закреплена») и j будет меняться с изменением Dx. Если при Dx®0 j ®a, то прямая, проходящая через точку М0 и составляющая с ОХ угол a и будет некоторой касательной:
Þ , т.е.
f¢(x0)=tga
Геометрический смысл:
Значение производной f¢(x) при заданном x равно tga, образованного касательной к графику f(x) в точке M(x,y) с положительным направлением оси ОХ..
Чтобы вывести уравнение касательной к f(x) в точке М0=( x 0,y0) можно поступить следующим образом. Нам известна точка, через которую она проходит, и ее угловой коэффициент, равный tga или f¢(x0), т.е. k0=f¢(x0). Уравнение такой прямой имеет вид:
y-y0=k0(x-x0) или
y-y0=f¢(x0)(x-x0)