Если f(x)ºj(x) Þ f|(x)ºj¢(x).
Пусть теперь аргумент x и функция y=y(x) связаны уравнением, не разрешенным относительно y.
Например:
(*) x2+y3=a2 –определяет ,подставляя которую в (*),получим тождество: , Þ
что если (*) продифференцируем по x, считая y=y(x), то получится новое уравнение относительно x, y, y¢,которое обратилось бы в тождество, если в него подставить выражения y¢=y¢(x) и y=y(x).
Так как * в общем случае не известны * всегда можно найти *.
Дифференцируя (*), найдем
2x+3y2y¢=0 Þ
Правило. Если F(x,y)=0 Þ для нахождения y¢ надо продифференцировать уравнение по x, считая y=y(x). Разрешая полученное уравнение относительно y¢,найдем выражение y¢ через x и y.
Примеры
1) x3+y3-3axy=0
2) x×ey+y=a
Пусть теперь x=j(t) и y=y(t), где j(t) и y (t) - дифференцируемые функции, и j¢¹ 0. Естественно, что j (x) и y (x) непрерывны и поэтому при Dt®0, Dx®0 и Dy®0.
Так как j¢ (t)¹0Þ x=j(t) -монотонная функция и поэтому Dt и Dx ®0 одновременно. Тогда
Примеры x=a×cost, y =a×sin t
x=a×(t-sin t), y=a×(1-cost) (y¢=ctg(t/2))
|
|
Иногда, при дифференцировании произведения многих функций или частного, а также при дифференцировании показательно-степенной функции y=[u(x)]v(x) используется так называемое логарифмическое дифференцирование. Сначала находят ln y, затем
и потом находят
y¢=y(ln y)¢
Пример:
1) y=uv, ln y=v×ln u
(ln y)¢=v¢×ln u + v×u¢/u Þ
2)
Дифференциал функции
Столь же важным в математическом анализе, как и производная, является понятие дифференциала функции.
Для любой дифференцируемой f(x) связь между D y и D x записывается в виде (*) D y=(y¢+a)Dx=y¢Dx+aDx
Величина a - бесконечно малая вместе с D x, то есть
В силу этого a×D x - бесконечно малая высшего порядка, по сравнению с D x, а y¢×Dx -бесконечно малая величина того же порядка, что и D x, если y¢¹0 при данном x.
Таким образом (*) определяет бесконечно малую D y (y¢¹0) в виде суммы двух слагаемых: y¢×Dx=O(Dx) и a×Dx=o(Dx). Поэтому y¢×Dx - будет главной частью приращения D y, причем пропорциональной D x.
Определение. Дифференциалом функции называют главную (линейную) часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента и обозначают символом:
(* * ) dy=y¢×Dx
Если (* * ) применить к аргументу x, то так как (x)¢=1 Þ
dx=(x)¢Dx=1×Dx=Dx
Поэтому dy=y¢×Dx
Внося dy и dx в ( * ) получим:
(** * ) Dy=dy+a×dx
Таким образом установлены следующие свойства дифференциала и его связь с приращением функции:
1. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента (то есть независимой переменной).
d y= y¢×Dx
2. Разность между приращением функции D y и ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с D x
|
|
D y-dy=o(Dx)
а также (при y¢¹0) высшего порядка по сравнению с D y или dy
D y-dy=o(Dy) ( т.к. Dy=O(Dx),
D y-dy=o(dy) ( т.к. dy=y¢×Dx)
3. В силу последнего свойства, при y¢¹0 приращение D y и дифференциал dy при бесконечно малом D x являются равносильными бесконечно малыми величинами:
dy~Dy
Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл:
Значение дифференциала функции при данных x и Dx равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой x графика f(x) при переходе от x к точке с абсциссой x+Dx.
В самом деле dy=KN, то есть катет РИСУНОК
DMNK, MK=Dx, ÐKMN=a, tga=y¢ Þ
KN=MK×tga=y¢×Dx=dy