Модель оцінки валютних потоків в умовах кризи

 

Розглянемо як приклад однієї зі стохастичних моделей динаміки поводження брокерів на валютній біржі. Економіка, про денно ринкову, багата прикладами процесів, які можна віднести до класу швидких. Це фінансові кризи, біржові й валютні паніки, гіперінфляція й т.п.

Одним з найцікавіших, тих що істотно впливають на стійкість економіки в цілому, є процес валютної паніки. Причини криються в дисбалансі виробництва й споживання, некерованій емісії, дефіциті зовнішньоторговельного балансу й інших макроекономічних факторах. Приводом до паніки зазвичай є події економічного, політичного й навіть психологічного порядку, що носять характер деякого якісного стрибка: прийняття (іноді тільки погроза прийняття) деякого рішення, збільшення темпу зміни деякого показника, наприклад, індексу Доу Джонса, вище певної величини тощо.

Терміном «валютна паніка» ми будемо позначати різкий, лавиноподібний ріст курсу валюти стосовно національної грошової одиниці (наприклад, долара до рубля, долара до гривні). Така поведінка курсу валют характерна для «чорного» вівторку (жовтень 1994 р., Росія) і «чорного» четверга (серпень 1995 р., Україна). Ha рис. 9.1 ірис. 9.2 наведені графіки зміни курсу долара в Росії й Україні відповідно. Характер зміни однаковий: різке зростання протягом перших трьох днів, потім сталість курсу протягом 1-3 днів на максимальному рівні, потім відносно швидке зниження до нового стабільного значення.

Обидва графіки володіють трьома областями опуклості, що може, зокрема, відповідати сумі трьох експонент:

або

Тут X – час (дні), Y – курс долару в рублях. Для України курс долару в гривнях переводився на курсу рублях (крос-курс) з розрахунку 1 рубль за 30 гривень.

Рис. 9.1. Курс долара в Росії

Рис. 9.2. Курс долара в Україні

 

B першому й другому випадках ажіотажний стрибок був викликаний подібними обставинами: напружені інфляційні очікування, необмірковані економічні заяви вищих посадовців, відсутність вчасної доларової інтервенції центральних банків, зацікавлених у такому підвищенні.

Зазначена модель є чисто емпіричною, по суті, це модель «чорного ящика». Поряд із цим можна спробувати описати поведінку курсу валюти системою диференціальних рівнянь, що являють собою рівняння балансу для фінансових і товарних потоків.

Дійсно, курс валюти є макроекономічним показником, що характеризує агреговану систему. B якості компонентів виступають національні гроші, валюта, товари. Вони рухаються між елементами соціально-економічної системи: банками, виробниками, споживачами, продавцями, випробовуючи взаємоперетворення на ринках товарів, кредитів, валюти тощо.

Використаємо цей підхід для моделювання поведінки курсу валюти. Помітимо, що питання, пов'язані з моделюванням і прогнозуванням курсу досить докладно розглянуті. Визначені фактори, що впливають на курс, запропоновано досить широкий спектр моделей і методів прийняття рішень. B якості моделей пропонуються різні регресійні – лінійні, степеневі, показові, статичні й динамічні, причому під динамікою розуміється відстеження й прогнозування часових рядів. Вони також є основою статистичних методів прогнозування. Широко використовуються методи експертних оцінок.

Принциповим недоліком цих моделей і методів є їх «нефізичність», відсутність якісної сторони процесу, його рушійних сил, неможливість визначення асимптотики поведінки курсу валюти й інших взаємопов’язаних характеристик. Пропонований у даній роботі підхід дозволяє одержати якісну картину процесу, визначити найбільш прийнятну систему функцій для побудови регресійних моделей.

Опишемо спочатку загальну схему руху грошово-фінансових й товарних ресурсів. Сама схема зображена на рис. 9.3. Вона включає наступні елементи або вузли: оборотна каса Нацбанку; резервний фонд Нацбанку; виробники; працівники виробничої сфери; працівники невиробничої сфери, пенсіонери, інші особи, що перебувають на утриманні держави; продавці; комерційні банки; зовнішній ринок; ринок товарів і послуг; ринок валюти; фондовий (фінансовий) ринок; валютна біржа; імпортери; експортери.

 

Рис 9.3 Схема грошових і товарних потоків

 

Даний набір елементів не є повним, однак для цілей наших досліджень він достатній, тому що включає елементи, поведінку яких визначає курс валюти. За необхідності склад елементів можна змінити. Ці елементи зв'язані потоками грошової маси (національних грошей), валюти, товарів і послуг, кредитів, депозитів і цінних паперів, робочої сили. Далі наведені позначення потоків на схемах:

 

Швидкість відходу грошової вартості з ресурсом з і -го вузла

Швидкість приходу грошової вартості з ресурсом в і -й вузол

Швидкість накопичення грошового капіталу в і -му вузлі

	=		–

 

 

 

 

 

 

Отже, для опису процесів переносу товарних і фінансових ресурсів будемо використовувати аналоги рівнянь суцільності й енергії. В основі рівняння суцільності лежить закон збереження маси. В іншому випадку це товарної, грошової, валютної маси, які ми будемо називати загальною назвою – ресурс.

Закон збереження ресурсу для цього вузла можна представити в наступній формі:

 

Грошова форма вартості ресурсу схожа енергії і її зміну може бути виражено рівнянням, аналогічним рівнянню збереження енергії.

Перші два доданки характеризують «конвертований» перенос грошової форми вартості, два наступних – те саме що поява або зникнення тепла в результаті хімічних реакцій. Тут ці доданки характеризують появу прибавочної вартості або знищення ресурсу. Останній доданок не має прямої аналогії з гідродинамікою. Воно відбиває специфічні особливості товарно-грошових відносин – деякі параметри мікросистем (ціна і, відповідно, загальна вартість акцій конкретного власника, наприклад) формуються на макрорівні. Цей доданок характеризує зміну вартості капіталу внаслідок різних процесів:

інфляції, знецінювання або, навпаки, подорожчання активів і т.д. В цьому випадку міняється не маса ресурсу, а його ціна в деяких абсолютних одиницях. В чимось цей доданок схожий на передачу тепла за рахунок теплопровідності або променевого переносу.

Введемо ряд позначень:

- швидкість приходу деякого ресурсу в і -й вузол, (кількість/час);

- швидкість відходу деякого ресурсу з і -го вузла;

- швидкість утворення деякого ресурсу в і -му вузлі;

- швидкість зникнення деякого ресурсу в і -му вузлі;

Ф - швидкість зміни вартості капіталу в і -му вузлі за рахунок макропричин;

- ціна одиниці кількості вхідного потоку в і -тий вузол;

- ціна одиниці кількості вихідного потоку з і -го вузла;

- величина деякого ресурсу, накопичена в і -му вузлі.

В найпростішому випадку, наведеному на рис. 9.4. зміна ресурсу V буде описуватися рівнянням:

W..(t, i) ·... (t, i) W... (t, i)

i- · · · ·

Рис. 9.4. Ілюстрація до рівнянь балансу

 

Тут, мабуть, виникає проблема інтерпретації з . Що розуміти під цим параметром: , або якусь їхню комбінацію? В яких грошових одиницях вимірювати вартість? В національній або іноземній валюті? І в який саме? Відповіді на ці питання даються в кожному конкретному випадку виходячи з особливостей завдання.

Вузли, у які входить, або з яких виходить кілька потоків, можуть бути описані сумами однорідних компонентів.

Поведінку курсу валюти розглянемо для деяких ідеальних умов, що відповідають поширеній кризовій ситуації. Ця ситуація характеризується різким спадом виробництва, значним дефіцитом державного бюджету, негативним балансом зовнішньоторговельної діяльності, неконтрольованою грошовою емісією.

В ідеалізованому виді ситуація виглядає таким чином:

- виробництво згорнуте до нуля, фінансування підприємств по суті перетворюється на зміст їх працівників нарівні з держслужбовцями і пенсіонерами;

- надходження грошей в оборотну касу Нацбанку від платників податків і у вигляді прибутків від держпідприємств немає;

- фінансування держпідприємств, виплата зарплати, пенсій, субсидій здійснюється за рахунок емісії;

- споживачі (працівники, службовці, пенсіонери) не мають запасу грошових коштів і товару, усі емісійні гроші від них потрапляють через ринок товарів і послуг до продавців товару, усі куплені товари повністю споживаються;

- експорт згорнутий до нуля, існує тільки імпорт, за яким продавці товару – покупці імпорту платять валютою;

- на ринку валюти діють два узагальнених суб’єкти: комерційні банки і продавці товару; перші продають, а другі купують валюту.

Цю ситуацію відбиває схема руху грошово-фінансових і товарних ресурсів, приведена на рис. 9.5, що представляє собою редукцію рис.9.3.

 

 

 

Рис.9.5. Схема руху фінансових і товарних ресурсів в умовах кризи

 

Перенумеруємо вузли на рис.9.5.

1. Резервний фонд Нацбанку.

2. Оборотна каса Нацбанку.

3. Виробники, працівники і пенсіонери.

4. Ринок товарів і послуг.

5. Продавці.

6. Ринок валюти.

7. Комерційні банки.

8. Зовнішній ринок.

Будемо позначати верхнім індексом в змінні, що відносяться до валюти, – що відносяться до національних грошей, m – що відносяться до товару.

Складемо рівняння вузлів, врахуємо і використаємо взаємозв’язки між вузлами ставлячи за мету одержати систему, одним з рішень якої буде курс валюти. Очевидно, що ключовими повинні бути зв’язки комерційних банків і продавців через ринок валюти, проте складання рівнянь ми почнемо від Нацбанку, оскільки в цій схемі він виявляє собою початок ланцюжка.

Позначимо, що реальна система рівнянь повинна враховувати тимчасові лаги – запізнювання, проте для спрощення завдання ми нехтуватимемо запізнюваннями. В першу чергу нас цікавитиме структура як самої системи, так і її рішень.

Нехай – швидкість емісії, наприклад, у рублях – c% g = l. Всі ці гроші потрапляють до споживачів і потім – до продавців. Продавці являють собою центральну ланку даної системи, оскільки тільки вони концентрують всі три види ресурсів: гроші, товари, валюту. Матеріальний баланс цих потоків для ланки Продавці дає наступну систему рівнянь:

; (9.1)

; (9.2)

, (9.3)

де .

Матеріальний баланс для ланки Комерційні банки дає наступну систему рівнянь:

; (9.4)

. (9.5)

При цьому ;

Отже, . (9.6)

Курс валюти задовольняє наступному рівнянню вартісного балансу (вважатимемо ):

.

Диференціюючи ліву частину і враховуючи (9.5.), отримаємо:

. (9.7)

Функція характеризує собою зміну курсу валюти. Його визначає ринок. Рушійною силою цієї зміни має бути різниця попиту та пропозиції, причому не на локальному, а на глобальному рівні.

Попит на ринку валюти – це кількість валюти, що можуть купити за запропонованою ціною. Пропозиція – це кількість валюти, запропонована на ринку за певною ціною.

Нехай банки виставили на ринок деяку частку наявного запасу валюти, тобто обсяг валюти на ринку дорівнює

, .

Нехай продавці товару виставили певну частку наявного запасу грошей, тобто

, .

Тоді «різниця потенціалів», рушійна сила зміни ціни, дорівнює

Частки і – керуючі параметри. Зміна – це стратегія і тактика торговців валютою, тобто банків. Вона визначається виходячи з різних міркувань. Перше з них – попередній досвід дій в подібних ситуаціях, далі – певний сценарій валютної спекуляції, якщо вона має місце, далі – психологічні фактори. Зміна – це стратегія і тактика продавців товару – споживачів валюти.

В звичайної ситуації , тому що основна маса грошей обертається усередині країни на ринку товарів і послуг, вироблених внутрішнім виробником. В моменти валютних панік, викликаних гіперінфляцією, політичними або економічними причинами, ця частка підскакує до 1.

Таким чином,

.

З урахуванням цього виразу рівняння (9.7) прийме вигляд:

,

або

.

Тут – деякий, параметр-функція, що регулюється, який визначається з експерименту.

Якщо вся валюта йде від продавців товару за кордон у сплату за імпорт, то рівняння (9.2) приймає вигляд

Отже, . Далі, позначивши через ціну у валюті, по якій продавці імпортують товар, отримаємо

.

Для цін на товар має бути виконана умова:

Тобто ціна, за якою продається товар на внутрішньому ринку, повинна покривати витрати на його закупівлю. Можна прийняти, що

Оскільки всі гроші споживачів переходять продавцям, то

Таким чином,

Величину у багатьох випадках можна вважати постійної, що спрощує рішення. В підсумку ми одержуємо наступні дві системи. Система рівнянь, що описують курс валюти:

(9.11)

(9.12)

(9.13)

Початкові умови:

.

Система рівнянь, що зображують товарний потік і ціну на товар:

(9.14)

Уточнимо сенс і вид функції (t, T), що представляє швидкість потоку валюти з банків. Вона має дорівнювати або пропозиції, або попиту, точніше, мінімуму з цих двох величин. Таким чином,

. (9.15)

В кризових ситуаціях мінімальним в цій парі зазвичай стає перший член. Але, як ми побачимо далі, ажіотажний попит на валюту і скидання національних грошей може приводити після певного часу до зворотної ситуації.

Знайдемо рішення системи (9.11) – (9.13) для двох варіантів значень .

Нехай = .

Підставивши це значення в (9.12) і (9.13), одержимо рівняння

(9.16)

(9.17)

Інтегруючи (9. 16), отримуємо:

(9.18)

Підставимо це вираження в (9.17):

(9.19)

Виразимо з рівняння (9.19):

(9.20)

Продиференціюємо :

Підставимо вираз для , , в (9.11) й зробимо необхідні перетворення. Отримаємо рівняння другого порядку відносно :

(9.21)

Це рівняння описує ситуацію до тих пір, поки визначається першою компонентою (9.15). Виведемо подібне рівняння для випадку, коли більшим є другий компонент, тобто пропозиція грошей (у перерахунку на валюту за поточним курсом).

В цьому випадку

(9.22)

Підставимо цей вираз в (9.12) та (9.13), отримаємо

(9.23)

. (9.24)

Тут явне рішення може бути отримане для рівняння (9.24). Перетворимо його до виду:

(9.25)

Отримали неоднорідне рівняння. Його рішенням буде функція

(9.26)

Тут Зазначимо, що час відповідає тому моменту, коли пропозиція валюти на ринку, яка була до цього менша, зрівнюється з пропозицією грошей (з врахуванням курсу).

З (9.23) випливає

(9.27)

З урахуванням (9.27) рівняння (9.11) прийме вигляд

(9.28)

Позначимо праву частину (9.27) через . Вона вираховується, оскільки відома. Через позначена похідна правої частини, тобто

Провівши диференціацію лівої і правої частини (9.27), отримаємо

(9.29)

З (9.27) виходить

(9.30)

Розділимо ліву й праву частину (9.29) на ліву й праву частину (9.30) відповідно. Отримаємо

(9.31)

З (9.28) можна отримати вираз

(9.32)

Підставивши (9.32) в (9.31) і виконавши подальші перетворення, отримаємо

Це нелінійне рівняння другого порядку відносно . Воно описує зміну кількості валюти в банках при певній стратегії її продажу для випадку, коли пропозиція валюти на ринку стає більше пропозиції грошей (у перерахуванні на валюту за поточним курсом).

Вирішивши рівняння (9.21) і (9.33), по формулам (9.20) і (9.30) відповідно знайдемо залежність курсу валюти від часу й інших параметрів.

Помітимо, що рівняння (9.2l) являє собою лінійне неоднорідне рівняння зі змінними коефіцієнтами виду

(9.34)

а рівняння (9.33) – нелінійне рівняння виду

(9.35)

яке підстановкою приводиться до рівняння Бернулі

(9.36)

а потім підстановкою – до лінійного

(9.37)

Рішеннями як (9.34), так і (9.35) є функції швидкого зростання. В окремих випадках це узагальнені експоненціальні квазіполіноми, в інших – їх можна наблизити за допомогою ОЕКП, для чого природно використовувати методи, запропоновані в даній роботі. В будь-якому випадку оцінювання параметрів самої динамічної моделі або її рішень варто проводити з використанням методів оптимізації на ГП.