Модель валютної паніки

Підкреслимо і ще раз, що зміна k (t,5) – це стратегія і тактика продавців товару – споживачів товару. В звичайній ситуації k (t,5)<<1, в момент валютних панік, викликаних різними політичними або економічними причинами, ця доля підвищується до 1.

Паніка по своїй природі являється цепним, лавиноподібним процесом, що розвивається в середовищі з великою, але разом з тим обмеженою кількістю учасників. До такого виду процесів у природі відносяться епідемії, хімічні реакції, в соціально-економічній сфері – валютні, біржові паніки, утворення і розвиток фінансових «пірамід», розповсюдження реклами і т.д.

Будемо вважати, що кількість (N) утримувачів грошей велика, сума вільних грошей у кожного утримувача однакова. Кількість бажаючих поміняти

ці гроші на валюту в початковий момент часу t ₀ рівна n ₀. Цих бажаючих можна назвати «зараженими» вірусом паніки, якщо своє бажання обміняти гроші на валюту вони повідомляють (тобто заражають ним) за деяку одиницю часу і ще r утримувачів, серед яких є як уже «заражені», так і «незаражені». Приріст «заражених» можливий тільки за рахунок останніх. Отже, кількість зв’язків - «зараз» в момент часу t рівна r·n (t), де n (t) – число заражених на момент часу t. Спрацює з них тільки частина. Як правило, розмір цієї частини приймають рівним долі «незаражених», тобто . Проте аналіз прикладів з конкретним значенням N і r показує, що вираз дає перебільшене значення приросту заражених за одиницю часу. Причиною перебільшення являється багаторазове урахування одного й того ж «зараженого» (його «заражають» декілька індивідуумів зразу). Дана ситуація зображена на рис. 9.6.

Рис. 9.6 Схема «зараження»

На рисунку чорними кружками зображені «ті, що заражають» індивіди, світлими і сірими – «ті, яких заражають», причому сірим відмічені «заражені» двічі.

Уникнути багаторазового обліку дозволить наступна модель. Будемо вважати, що перший «заражаючий» діє на «незаражених», для другого доля «незаражених» зменшилась і складає , відповідно він «заразить» і т.д.:

Величина складає приріст «заражених» за одиницю часу і представляє собою суму геометричної прогресії. Ця сума рівна

Оскільки N велике, будемо рахувати . Відповідно, приріст «заражених» за період t складе

Звідси отримуємо рівняння для долі «заражених»:

(9,38)

де, .

Взявши лінійне приближення експоненти, ми отримаємо звичайну використовувану модель для описання подібного процесу, тобто

(9,39)

На перший погляд k (t) це і є k (t,5), але на сам перед k (t,5) – це доля бажаючих обміняти гроші серед маючих гроші. Якщо припустити, що раніше «заражені» грошей уже позбулись, то найбільш природно вважати цю долю рівній відношенню знову «заражених» (але ще не «перехворівших», тобто від грошей поки що непозбувшихся) до «не хворівших»:

або

Звідси

(9,40)

Немає ніяких підстав вважати, що всі хто бажає купити валюту, купить її. Тому вид (9,40) для функції k (t,5) характеризує один із крайніх випадків. Другий крайній випадок, коли валюти на ринку немає, а паніка наростає, відповідає виду (9,41) для функції k (t,5):

(9,41)

Варіант (9.41) в певному розумінні є інтегральною характеристикою варіанта (9.40). Він характеризує собою інтегрально накопичувальний попит, що не має задоволення. Відмітимо, що валютним панікам властивий ажіотаж покупців і стриманість продавців валюти, відповідно формула (9.41) в більшому ступені буде відповідати характеру збільшення попиту.

Рівняння (9.38) – з розподільними змінними, але питання про його інтегрування в кінцевому виді, на жаль залишається відкритим.

Числове його розв’язання не є складним.

Рівняння (9.39) набагато простіше. Його розв’язанням буде функція

(9.42)

або

де .

Для цього випадку будемо рахувати . Варіант в цьому випадку не підходить по фізичним міркуванням, або приводить до вираження , де r > 1.

Порівняємо числові значення (38) і (39) для різних значень r (рис. 9.7 – 9.9).

Вони були отримані методом Рунге-Кутта четвертого порядку (процедура rkfixed Mathcad 7 Pro) як розв’язок системи двох рівнянь. Через на графіку позначено час t, через з рівняння (9.38), через з рівняння (9.39) (тобто це графік функції (9.42)). Значення скрізь рівне 0,1.

При малих r різниця в поведінці функції невелика, при більших r рішення (9.38) більше відповідає реальному розвитку паніки.

Рис. 9.7. Вид функції k (t) при r = 1

Рис. 9.8. Вид функції k (t) при r = 3

Рис. 9.9. Вид функції k (t) при r = 10

Нагадаємо, що через t ₀ тут позначено момент початку паніки. Пусковою подією служить звичайне збільшення швидкості росту курсу валюти вище деякого критичного значення.

Паніка покупців валюти може супроводжуватись панікою продавців тобто банків. Вони прагнуть різко зменшити пропозицію валюти. Тобто їх дії направлені на зменшення k (t,7). Але ця паніка має інший механізм розвитку. Це паніка індивідуума. Більш того, дія продавців, як правило панікою не являється, а представляє собою обдумані дії, що реалізують окрему стратегію і тактику валютних операцій.

Проілюструємо викладене рядом прикладів, реалізованих в оточенні Mathcad 7 Pro.

Приклад 9.1. Виберемо наступні значення параметрів і початкових даних:

k (t,5) рахуємо по формулі (9,42), де

Розв’язок системи було отримано методом Рунге-Кутта четвертого порядку (процедура rkfixed Mathcad 7 Pro). Через на графіку (рис. 9.10) позначено час t, через

Рис. 9.10. Вид функції с^в (t, 7)для приклада 9.1.

Приклад 9.2. Виберемо наступні значення параметрів і початкових даних (рис. 9.11):

k (t,5) рахуємо по формулі (9,42), де

Порівняння даних графіків з графіками, наведеними на рис. 9.8 і рис. 9.9 дає підстави стверджувати, що наведені в даній роботі моделі правильно описують розвиток валютної паніки.